已知函数gx=a/x+lnx-2 gx=lnx+2x.(1)求函数fx的单调性.(2)试问过点(

，5)可作多少条直线与曲线y=gx相切？

(1)f(x)=a/x+lnx-2
定义域x>0
f'(x)=-a/x²+1/x=(x-a)/x²
当a≤0时，f'(x)恒大于0，f(x)单调递增
当a>0时，驻点：x=-a
x∈(0,a),f'(x)<0，f(x)单调递减
x∈(a,+∞),f'(x)>0，f(x)单调递增
(2),假设点为(0,5)
令切线为：y-5=kx
切点(x,kx+5)
kx+5=lnx+2x①
k=1/x+2 ② （切点处的导函数值=斜率）
(1/x+2)x=lnx+2x
1=lnx
x=e
∴只有一条切线。

（1）f'(x)=a+1/x=(ax+1)/x，x>0 ①若 a≥0，则f'(x)>0， f(x)在r上单调增，即增区间为(-∞，+∞)； ②若a<0，令f'(x)>0，则 ax+1>0，解得 x<-1/a， 即f(x)在(0，-1/a)上是增函数， 同理，在(-1/a，+∞)上是减函数。 （2）由题意知，f(x)在(0，+∞)上的最大值小于g(x)在[0，1]上最大值， 而g(x)在[0，1]是的最大值为 g(0)=1， 从而 f(x)<1，x∈(0，+∞) 即 ax+lnx <1， a< (1-lnx)/x，x>0 令h(x)=(1-lnx)/x， 从而 a<[h(x)]min，x>0 求导可得，当 x=e²时，h(x)有最小值为h(e²)=-1/e² 从而 a<-1/e²

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