a∈R 讨论方程log2(x＋√x平方-1)＝a在什么情况下有解 有解时求出它的解

a∈R 讨论方程log2(x＋√x平方-1)＝a在什么情况下有解 有解时求出它的解

对数有意义，x+√(x^2-1)≥0
√(x^2 -1)≥-x (1)
由于x^2-1x<0时，√(x^2-1)<-x，不满足不等式(1)，因此x≥0
算术平方根有意义，x^2-1≥0，x≥1或x≤-1，又x≥0，因此x≥1
x+√(x^2-1)≥1，当x=1时取等号。
log2[x+√(x^2-1)]=a
x+√(x^2-1)=2^a
2^a≥1
a≥0

1/[x+√(x^2-1)]=x-√(x^2-1) 这一步是分母有理化。
log2[1/[x+√(x^2-1)]]=log2[x-√(x^2-1)]=-a
x-√(x^2-1)=2^(-a) (2)
x+√(x^2-1)=2^a (3)
(1)+(2)
2x=2^a +2^(-a)
x=[2^a +2^(-a)]/2

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