已知，△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，E是BC边的中点。

△BEM∽△CNE

△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，找出一对相似三角形并证明

△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上 (2011-04-29 15:54:24)转载▼标签： 杂谈 分类： 数学

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（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
考点：相似三角形的判定；等腰直角三角形．
专题：证明题；开放型．
分析：因为此题是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性质：可得锐角为45°，根据角之间的关系，利用如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似可判定三角形相似；再根据性质得到比例线段，有夹角相等证得△ECN∽△MEN．
解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°
又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°
∴∠NEC+∠MEB=135°
∴∠BME=∠NEC，（4分）
而∠MBE=∠ECN=45°，
∴△BEM∽△CNE．（6分）

（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，
∴ BECN=EMNE．（8分）
又∵BE=EC，
∴ ECCN=EMNE，（10分）
则△ECN与△MEN中有 ECCN=MEEN，
又∠ECN=∠MEN=45°，
∴△ECN∽△MEN．（12分）
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．

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