已知三角形ABC中，A（4,5），B点在X轴上，C点在直线L：2X-Y+2=0上，求三角形ABC周长最小值及A,B坐标

已知三角形ABC中，A（4,5），B点在X轴上，C点在直线L：2X-Y+2=0上，求三角形ABC周长最小值及A,B坐标

A点(4,5)，点A关于直线l:2x-y+2=0对称的点为D,设D(x,y)
则点D(x,y)与点A(4,5)的中点在直线2x-y+2=0上
有x+4-1/2(y+5)+2=0
直线AD一定垂直于直线2x-y+2=0
则（y-5)/(x-4)=-1/2
联立前式，得D点坐标为（0,7)
根据对称原理，△ABC的周长的最小值 =AC+BA+BC=DC+CD+CA=DB+BA
即DB+BA的最小值，
同理，可设点D关于x轴的对称点E
则E坐标为（0，-7）
直线EA与x轴交于一点，当点B处在这个点时，DB+BA取得最小值
此时DB+BA=EA=4根号10，周长最小值为4根号10
此时B点坐标为(7/3,0),C点为直线DB与直线2x-y+2=0的交点
C点坐标为(1,4）

主要的思路是做a点关于直线l：2x-y+2=0的对称点，然后这点到x轴的距离就是周长最小值，做高时与直线l的交点就是要求的c点，垂足就是b。 过程如下： 设过a且与直线l垂直的直线l2为x+2y+c=0，把a带入所设直线，得c=-14； 然后求l与l2的交点，得（2，6），那么求a点关于直线l的对称点a'的方程组为 x+2y-14=0,(x-2)²+(y-6)²=5，解得y=7，x=0，所以，b(0,0)，c(0,2)，ab=根号41，bc+ac=7，所以周长为7+根号41。

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