以实数x,y满足x²+y²-4x+1=0 （1）求x÷y的最大值和最小值（2）求y-x的最值（

以实数x,y满足x²+y²-4x+1=0 （1）求x÷y的最大值和最小值（2）求y-x的最值（

解：
x²+y²-4x+4=3
x²+(y-2)²=3
设x=√3cosα，y=2+√3sinα
(1)
令x/y=k
k=√3cosα/(2+√3sinα)
整理，得：cosα-ksinα=2k/√3
√(1+k²)cos(α+γ)=2k/√3，(其中，tanγ=k)
cos(α+γ)=(2k/√3)/√(1+k²)
-1≤cos(α+γ)≤1
-1≤(2k/√3)/√(1+k²)≤1
(4k²/3)/(1+k²)≤1
k²≤3
-√3≤k≤√3
-√3≤x/y≤√3
x/y的最大值为√3，最小值为-√3
(2)
y-x=2+√3sinα-√3cosα
=2+√6[(√2/2)sinα-(√2/2)cosα]
=2+√6sin(α- π/4)
-1≤sin(α- π/4)≤1
2-√6≤y≤2+√6
y-x的最大值为2+√6，最小值为2-√6
(3)
x²+y²=(√3cosα)²+(2+√3sinα)²
=3cos²α+3sin²α+4√3sinα+4
=4√3sinα+7
-1≤sinα≤1
7-4√3≤x²+y²≤7+4√3
x²+y²的最大值为7+4√3，最小值为7-4√3

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