求函数y=x+x/(x^2一1)的拐点及凹凸区间

求函数y=x+x/(x^2一1)的拐点及凹凸区间

求解过程为：
第一步：y''=2x(x^2+3)(x^2-1)/(x^2-1)^4。
第二步：令y''=0，得x=0或x=1或x=-1。
第三步：y''＞0 x＞1或-1＜x＜0 y''＜0 0＜x＜1或x＜-1
所以拐点为（0，0） 在（-∞，-1）U(0,1)上是凸的，在（-1，0）U(1,+∞）上是凹的。
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。
扩展资料：
拐点的求法
1、求f''(x)；
2、令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；
3、对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点  ，检查f''(x)在  左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(  f( x))是拐点，当两侧的符号相同时，点(  f( y))不是拐点。
凹凸性的意义：
从导数角度讲，设y=f(x)在(a，b)内具有二阶导数，如果在(a，b)内f''(x)>o，则y=f(x)在(a，b)内为下凸；如果在(a，b)内f''(x)<o，则y=f(x)在(a，b)内为上凸。
在研究函数图形的变化时，仅仅研究单调性并不能完全反映它的变化规律。函数虽然在区间[a，b]内单调递增，但却有不同的弯曲状况，从左到右，曲线先是向下凹，通过P点后改变了弯曲方向，曲线向上凸。
在研究函数的图形时，除了研究其单调性，对于它的弯曲方向及弯曲方向的改变点的研究也是很有必要的。

y = x + x/(x²-1) y ′ = (x²-1-2x²)/(x²-1)² = -(x²+1)/(x²-1)² y ′′ = -2x/(x²-1)² + 2(x²+1)*2x/(x²-1)³ = {-2x(x²-1)+4x(x²+1)}/(x²-1)³ = {-2x³+2x+4x³+4x)}/(x²-1)³ = {2x³+6x)}/(x²-1)³ = 2x(x²+3) / {(x+1)³(x-1)³} x=0时，y=0 拐点（0，0） 凸区间（-∞，-1），（0，1） 凹区间（-1，0），（1，+∞）

对该函数求导： y'=2x/(1+x^) 继续求二次导： y''=[(2x)'*(1+x^)-2x*(1+x^)']/(1+x^)^ =[2(1+x^)-2x*2x]/(1+x^)^ =(2-2x^)/(1+x^)^ =2(1+x)(1-x)/(1+x^)^ 很明显，上式中，分母(1+x^)^始终为正，只需对分子中2(1+x)(1-x)的正负进行分辨： 可得出当x=±1时，y''=0,此时f(-1)=f(1)=ln2 故(-1,ln2)与(1,ln2)为函数y的两个拐点 当x∈(-∞,-1)时，分子为负，y''<0，函数y为凸函数 当x∈(-1,1)时，分子为正，y''>0，函数y为凹函数 当x∈(1,+∞)时，分子为负，y''<0，函数y为凸函数 故(-∞,-1)和(1,+∞)为y的凸区间，(-1,1)为y的凸区间

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