高中数学数列题

设数列{an}的前n项和为sn，a1=5，且对任意自然数n……（详见图）

要详细步骤

(1)

S(n+1)/(n+1)-S(n)/n=2，所以数列{S(n)/n}为等差数列。

S(1)/1=a(1)=5，S(n)/n=S(1)/1+(n-1)*2=2n+3，S(n)=n(2n+3)，

a(n)=S(n)-S(n-1)=n(2n+3)-(n-1)(2n+1)=4n+1 (n>1)，

n=1，a(1)=5=4*1+1，

所以通项a(n)=4n+1；

(2)

a(k1)=a(2)=9，a(k2)=a(20)=81，又因为a(kn)为等比数列，所以公比q=a(k2)/a(k1)=9，

a(kn)=a(k1)*(q^(n-1))=9*(9^(n-1))=9^n，

由于a(n)=4n+1，所以a(kn)=4kn+1，

即有4kn+1=9^n，通项kn=(9^n-1)/4；

(3)

求和式中的通项设为b(n)，b(n)=7^n/(8*(9^n-1)/4+2)=(7/9)^n/2，

设和为T(n)，则T(n)=(1-(7/9)^n)/(1-7/9)*7/18=7/4*(1-(7/9)^n)。

1)nS(n+1)=2n(n+2)+(n+1)Sn

两边同除n(n+1)得 S(n+1)/(n+1)=Sn/n+2, S1/1=a1=5

∴{Sn/n}是首项为5,公差为2的等差数列,

∴Sn/n=5+2(n-1)=2n+3, Sn=n(2n+3)=2n²+3n

n>1时,S(n-1)=2(n-1)²+3(n-1)=2n²-n-1

an=Sn-S(n-1)=(2n²+3n)-(2n²-n-1)=4n+1, n=1时也成立

综上,{an}通项为an=4n+1

2)ak1=a2=9, ak2=a20=81, 则公比q=81/9=9

∴akn首项为9,公比为9, 即akn=9×9^(n-1)=9^n

∴4kn+1=9^n, kn=(9^n-1)/4

3)8kn+2=2(9^n-1)+2=2×9^n

∴原式=7/2×9+7²/2×9²+...+7^n/2×9^n

    =[(7/9)+(7/9)²+...+(7/9)^n]/2

    =(7/9)×[1-(7/9)^n]/[1-(7/9)] /2

    =(7/4)×[1-(7/9)^n]

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