球壳和球体转动惯量中微元选取中出现的问题
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解决时间 2021-03-17 09:25
- 提问者网友：你给我的爱
- 2021-03-16 20:14
球壳和球体转动惯量中微元选取中出现的问题
最佳答案
- 五星知识达人网友：duile
- 2021-03-16 20:58
其实不是说都不能换过来，只是为了计算方便所以这样罢了。因为你要知道你在做积分的时候事实上你得写出你所计算的量关于积分变量的根本的式子，放在这个题里具体来说，例如球壳微元的高我选的dl，那我就把必须把转动惯量关于l的式子写出来，就是这个意思，而在计算这个转动惯量时很显然像你说的这种方式选微元会更容易弄出表达式啊，我在这里把这两个都换种微元做给你看看。
对球壳，高为dz，这里我建个空间直角坐标系啊，x，y轴都过O啊，那么取薄球带，距z轴距离r=√（R²-z²），下面求dm，首先你要知道求对如上图所示的dl才是均匀的，这样才能把单位面密度用进去，我们把那个式子照抄就是dm=σ2ΠrRdθ，而z=R·cosθ，θ=arccos（z/R），那么dm=σ2ΠrRdarccos（z/R）=σ2ΠrR·arccos（z/R）'dz=σ2ΠrR·（-1/√(1-（z/R）²)）·1/R·dz，把r=√（R²-z²）带入化简dm=-σ2ΠRdz，然后J=-σ2ΠRʃ（-R->R）（R²-z²）dz，这我就不再打了，我下面算过了和答案一样，你也可以自己求吧，看到这，你说麻不麻烦。
对球体，我们用单位体密度，但我只想和你说你那积分用的体积你没办法解决，就是你搞不出表达式，它类似于锥体但又不是，而且你想起来也累，而用dz就是做柱体，是不是很好做？所以，没人会做这吃力不讨好的事，你想想是不是？
希望上面的回答可以帮到你，望采纳，谢谢。追问哦，你误会了，你那样替换过后，当初的高并没有变。 比如你按公式把dl替换成dz ，原来的高是dl， 换成 dz 过后只是换元了而已，但是高还是dl。
我的意思是一开始的时候 (比如球壳) 高应该看成 dl ，为什么不能看成dz? 还有球体，高应该看成dz ，为什么不能看成dl ? 换句话说，就是球壳的微元为什么看成是类似锥体，而不是柱体的外表面，而球体却要看成柱体而不看成类似锥体的微元？追答嗯，在我理解中，转动惯量突出了三个要点，到转轴一定距离的质点的集合，该集合的质量，距离的平方，我上面说的做法实际上是满足这三个要点的，只是我过早把它们换了元而已，而换元这个过程只是计算方式的一种罢了。当然如果你有更好的计算方法，你当然就不用换了，也就是说，如果你数学够好，转动惯量这东西，你怎么取高怎么算都行。
具体到球面和球体这两个东西我想说说我的一点想法。对于球面，它是一个面，单从面的角度说它是二维的，因为它没有厚度，所以我们都是考虑的单位面密度或厚度不计吧。如果把它看做三维球壳的话，我们得知道它的厚度是径向的，而你想做的事就是想改变厚度方向的方向，即变成你说的柱体的外表面，但是有一点是一定的，方向规定了在这个方向上，球壳的分布就不再是均匀那么原本的单位面密度就不再适用了，因为单位面密度是指的在同一径向厚度下的一定面积的质量，你连他厚度都变了当然就用不了单位面密度了。而我做的事某种程度上就是找出径向厚度和规定方向长度间的数学关系，注意是数学关系。当然你再换方向什么的，也就是高了，那也都可以，关键是你要找出这隐含的数学关系。
对于球体。他怎么样都是用的单位体密度，你不管怎么做他都是用的这个东西，只要体积的处理方式你能想得出来就能做的出来。
综上所述，你想换高很简单，也可以换，不存在什么必然的高，只要数学够好，就可以换并做出来。
最后，说个题你不妨做做看，就是计厚度为R内半径为r的薄球壳的转动惯量，然后你把球面，球壳，球体的转动惯量依次联系起来看，看有什么发现，这是计算球体转动惯量的一种思想。
希望以上回答可以帮到你，如果还有什么问题再问吧，或是觉得我有什么说的不对的也可以说出来。追问谢谢你这么耐心解答，确实豁然开朗很多。
但我还想问如果只是求面积或体积是不是就不用考虑面密度，体密度这些了？
追答如果只是求面积或体积的确不用管那么多，因为在不考虑方向等问题上，其分布都算均衡的。
对于你第二次问的，即那个图片上的。第一个问题，圆柱是肯定不能直接相减的，因为直接减两者间的半径什么的物理意义就不一致了。对于第二个问题我也不太清楚你的做法，至于要你求球壳的转动惯量是希望你用已知不计厚度球壳的转动惯量来做，这个厚度是径向厚度，取dr乘以那个式子，再做积分，上下限是内半径和外半径，球体，就是内半径为0，然后质量再在一开始处理一下就可以了。其实你说的什么五次方三次方我不太理解你说的意思，如果不介意，可以把过程发过来我看一下吗？希望可以帮到你！追问
就是这里的5次方和3次方形式太复杂，化简不了就做不下去了。
还有另外一个问题，之前你说了单位面密度和单位体密度的问题让我茅塞顿开啊，我觉得我应该是已经想通这个问题了，但是当我在想面积和体积的时候就又开始纠结了，这样就跟面密度，体密度无关了呀。。 那我之前已经想通的就又回原点了。。
这个允许的字数也太少了吧。。。
追答你所有的问题我就不按照你问的顺序回答了。首先你说那个有厚度的球壳五次方三次方你就按照展开公式展开吧，可以把R1-R2约掉，最后都成了加法，再做极限直接代数就可以了。至于还有我说的半径，你知道这样做就可以了。做的是对的。
另外，你说对微元法有点质疑，还有对球面，球体求面积，体积有疑问。其实都是一个问题。首先我说个东西,从1到2，高为1，无论这个区间是开还是闭，这个区域面积都是1吧，从微元角度说，两端都是有面积的吧，可为什么没影响呢，那是因为这个影响小到忽略不计了，而在物理里面的微元法其实是一个动西，因为我们做微元法微元基本都是被近似处理了的，那么对于微元本身我们就得有这样的要求近似处理后的误差对于微元本身得小到忽略不计，这个就和什么面密度体密度无关比如做球体体积微元取圆柱，如果高即dz足够小，那么被近似掉的体积就是一个点了吧，这时你也许会问求球面面积取微元为圆柱面高足够小，被近似的部分不也成了点吗，但事实上这时该圆柱面高也成了点吧，而点对点是不能忽略的吧。所以想你那样做就不行了。求球体体积用类椎体做的不对也是这个原因。其实像你那样取微元也可以做，只是这时微元不能再做近似处理了，即你得找出你所取的微元和原长度的函数关系，代进去就行了，例如求球面积，每一段柱面高是那一段dz对应的弧长了，而不再仅仅是dz了，希望可以帮到你。如果还有什么不清楚的，这个知道字又不够打，可以加我qq，1014608817哎，太长了，一次发不出去啊。
对球壳，高为dz，这里我建个空间直角坐标系啊，x，y轴都过O啊，那么取薄球带，距z轴距离r=√（R²-z²），下面求dm，首先你要知道求对如上图所示的dl才是均匀的，这样才能把单位面密度用进去，我们把那个式子照抄就是dm=σ2ΠrRdθ，而z=R·cosθ，θ=arccos（z/R），那么dm=σ2ΠrRdarccos（z/R）=σ2ΠrR·arccos（z/R）'dz=σ2ΠrR·（-1/√(1-（z/R）²)）·1/R·dz，把r=√（R²-z²）带入化简dm=-σ2ΠRdz，然后J=-σ2ΠRʃ（-R->R）（R²-z²）dz，这我就不再打了，我下面算过了和答案一样，你也可以自己求吧，看到这，你说麻不麻烦。
对球体，我们用单位体密度，但我只想和你说你那积分用的体积你没办法解决，就是你搞不出表达式，它类似于锥体但又不是，而且你想起来也累，而用dz就是做柱体，是不是很好做？所以，没人会做这吃力不讨好的事，你想想是不是？
希望上面的回答可以帮到你，望采纳，谢谢。追问哦，你误会了，你那样替换过后，当初的高并没有变。 比如你按公式把dl替换成dz ，原来的高是dl， 换成 dz 过后只是换元了而已，但是高还是dl。
我的意思是一开始的时候 (比如球壳) 高应该看成 dl ，为什么不能看成dz? 还有球体，高应该看成dz ，为什么不能看成dl ? 换句话说，就是球壳的微元为什么看成是类似锥体，而不是柱体的外表面，而球体却要看成柱体而不看成类似锥体的微元？追答嗯，在我理解中，转动惯量突出了三个要点，到转轴一定距离的质点的集合，该集合的质量，距离的平方，我上面说的做法实际上是满足这三个要点的，只是我过早把它们换了元而已，而换元这个过程只是计算方式的一种罢了。当然如果你有更好的计算方法，你当然就不用换了，也就是说，如果你数学够好，转动惯量这东西，你怎么取高怎么算都行。
具体到球面和球体这两个东西我想说说我的一点想法。对于球面，它是一个面，单从面的角度说它是二维的，因为它没有厚度，所以我们都是考虑的单位面密度或厚度不计吧。如果把它看做三维球壳的话，我们得知道它的厚度是径向的，而你想做的事就是想改变厚度方向的方向，即变成你说的柱体的外表面，但是有一点是一定的，方向规定了在这个方向上，球壳的分布就不再是均匀那么原本的单位面密度就不再适用了，因为单位面密度是指的在同一径向厚度下的一定面积的质量，你连他厚度都变了当然就用不了单位面密度了。而我做的事某种程度上就是找出径向厚度和规定方向长度间的数学关系，注意是数学关系。当然你再换方向什么的，也就是高了，那也都可以，关键是你要找出这隐含的数学关系。
对于球体。他怎么样都是用的单位体密度，你不管怎么做他都是用的这个东西，只要体积的处理方式你能想得出来就能做的出来。
综上所述，你想换高很简单，也可以换，不存在什么必然的高，只要数学够好，就可以换并做出来。
最后，说个题你不妨做做看，就是计厚度为R内半径为r的薄球壳的转动惯量，然后你把球面，球壳，球体的转动惯量依次联系起来看，看有什么发现，这是计算球体转动惯量的一种思想。
希望以上回答可以帮到你，如果还有什么问题再问吧，或是觉得我有什么说的不对的也可以说出来。追问谢谢你这么耐心解答，确实豁然开朗很多。
但我还想问如果只是求面积或体积是不是就不用考虑面密度，体密度这些了？
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就是这里的5次方和3次方形式太复杂，化简不了就做不下去了。
还有另外一个问题，之前你说了单位面密度和单位体密度的问题让我茅塞顿开啊，我觉得我应该是已经想通这个问题了，但是当我在想面积和体积的时候就又开始纠结了，这样就跟面密度，体密度无关了呀。。 那我之前已经想通的就又回原点了。。
这个允许的字数也太少了吧。。。
追答你所有的问题我就不按照你问的顺序回答了。首先你说那个有厚度的球壳五次方三次方你就按照展开公式展开吧，可以把R1-R2约掉，最后都成了加法，再做极限直接代数就可以了。至于还有我说的半径，你知道这样做就可以了。做的是对的。
另外，你说对微元法有点质疑，还有对球面，球体求面积，体积有疑问。其实都是一个问题。首先我说个东西,从1到2，高为1，无论这个区间是开还是闭，这个区域面积都是1吧，从微元角度说，两端都是有面积的吧，可为什么没影响呢，那是因为这个影响小到忽略不计了，而在物理里面的微元法其实是一个动西，因为我们做微元法微元基本都是被近似处理了的，那么对于微元本身我们就得有这样的要求近似处理后的误差对于微元本身得小到忽略不计，这个就和什么面密度体密度无关比如做球体体积微元取圆柱，如果高即dz足够小，那么被近似掉的体积就是一个点了吧，这时你也许会问求球面面积取微元为圆柱面高足够小，被近似的部分不也成了点吗，但事实上这时该圆柱面高也成了点吧，而点对点是不能忽略的吧。所以想你那样做就不行了。求球体体积用类椎体做的不对也是这个原因。其实像你那样取微元也可以做，只是这时微元不能再做近似处理了，即你得找出你所取的微元和原长度的函数关系，代进去就行了，例如求球面积，每一段柱面高是那一段dz对应的弧长了，而不再仅仅是dz了，希望可以帮到你。如果还有什么不清楚的，这个知道字又不够打，可以加我qq，1014608817哎，太长了，一次发不出去啊。
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