利用定义证明函数f（x)=根号下（x方加一）-x在其定义域内为减函数

利用定义证明函数f（x)=根号下（x方加一）-x在其定义域内为减函数

任取实数x1,x2且x1f(x1)-f(x2)= [√(x1²+1)-x1]-[√(x2²+1)-x2]
=[√(x1²+1)- √(x2²+1)]+[ x2-x1]
=[(x1²+1)- (x2²+1)]/ [√(x1²+1)+√(x2²+1)] +[ x2-x1]
= (x1²- x2²) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)] +[ x2-x1]
=(x1- x2){ (x1+ x2) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)]-1}
=(x1- x2) (x1+ x2-√(x1²+1)- √(x2²+1)) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)]
∵x1又x1≤|x1|=√x1²<√(x1²+1),同理x2<√(x2²+1)
x1+ x2-√(x1²+1)- √(x2²+1)<0.
所以(x1- x2) (x1+ x2-√(x1²+1)- √(x2²+1)) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)]>0
∴函数f（x)=√(x²+1)-x在其定义域内为减函数。

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