如图在三角形ABC中，AC=AB，以AB为直径的圆O分别交AC,BC于点D,E，点F在AC的延长线上，且2∠CBF=∠CAB.

若AB=6，BF=8，求tan∠CBF

因为AC=AB,所以角CAB=角CBA，又因为2角CBF=角CAB=角CBA，所以角ABF=3角CBF，角CBF=30度，角ABC=60度，三角形ABC为等边三角形，AB=AC=CF，三角形CBF为等边三角形，BM=FM=4，又因为AC=CF，BM=FM，所以CM为三角形ABF的中位线，CM=1/2AB=3，所以tan角CBF=3/4

（1）连接ae，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠abe=90°． （2）利用已知条件证得∴△agc∽△bfa，利用比例式求得线段的长即可． 解答：（1）证明：连接ae， ∵ab是⊙o的直径， ∴∠aeb=90°， ∴∠1+∠2=90°．(∠1=∠eab,．∠2=∠abe) ∵ab=ac， ∴∠1= 1/2∠cab． ∵∠cbf= 1/2∠cab， ∴∠1=∠cbf ∴∠cbf+∠2=90° 即∠abf=90° ∵ab是⊙o的直径， ∴直线bf是⊙o的切线． （2）解：过点c作cg⊥ab于点g． ∵sin∠cbf= √5/5，∠1=∠cbf， ∴sin∠1= √5/5 ∵∠aeb=90°，ab=5， ∴be=ab•sin∠1= √5， ∵ab=ac，∠aeb=90°， ∴bc=2be=2 √5， 在rt△abe中，由勾股定理得ae=2√ 5， ∴sin∠2= 2√5/5，cos∠2= √5/5， 在rt△cbg中，可求得gc=4，gb=2， ∴ag=3， ∵gc∥bf， ∴△agc∽△abf， ∴ gc/bf=ag/ab ∴bf= gc•ab/ag= 20/3

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