将 弧BC沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=5,DB=7,则BC的长是

将 弧BC沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=5,DB=7,则BC的长是

解答：解：连接CA、CD；
根据折叠的性质，得：弧CB=弧BDC ；
∴∠CAB=∠CBD+∠BCD；
∵∠CDA=∠CBD+∠BCD，
∴∠CAD=∠CDA，即△CAD是等腰三角形；
过C作CE⊥AB于E，则AE=DE=2.5；
∴BE=BD+DE=9.5；
在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：
BC2=BE•AB=9.5×12=114；
故BC=根号114 ．

点评：此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．参考资料：百度

如图，将AB所在的圆O作BC的对称图形O‘，因此角CBO=角CBO‘=角OBO’/2
在三角形O’DB中，因为O‘D和O’B都是圆O‘半径，因此相等，都=AB/2=6
过O’作AB的垂线，交AB于E，因为是等腰三角形的高，因此平分BD，BE=3.5
直角三角形BEO‘中，BE=3.5，O’B=6，由勾股定理算得O‘E=(根号95) /2
连接OC，过A作OC的垂线，交于F
在三角形AOF和三角形O’BE中，两直角相等，角AOF=2×角ABC=角OBO‘，AO=BO’=半径，因此两三角形全等，AF=O‘E=(根号95) /2，OF=BE=3.5
因此CF=CO-OF=2.5
在直角三角形AFC中，有CF=2.5，AF=(根号95) /2，由勾股定理算得AC=根号30
在直角三角形ABC中，有AB=12，AC=根号30，由勾股定理算得BC=根号114

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