求证：对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于同一个常数k（k≥1）

求证：对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于同一个常数k（k≥1）．

设已知矩形A的长与宽分别为a，b，所求矩形B的长与宽为x，y，
则矩形A的周长是2（a+b），面积为ab，
矩形B的周长为2（x+y），面积为xy，
则







x+y=k(a+b)
xy=kab
∴x，y是方程t2-k（a+b）t+kab=0的两实根．
当△=[k（a+b）]2-4kab≥0，即k≥
4ab
(a+b)2 时，方程有解．
所以，对于长与宽分别为a，b的矩形，当k≥
4ab
(a+b)2 时，存在周长与面积都是已知矩形的k倍的矩形．
∵（a-b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，a2+b2+2ab≥4ab，
即（a+b）2≥4ab，
4ab
(a+b)2 ≤1，
∴
4ab
(a+b)2 的最大值为1．
∴当k≥1时，所有的矩形都有周长与面积同时扩大m倍的矩形，
即对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于同一个常数k（k≥1）．

证明 设矩形a及矩形b的长与宽分别为a，b及x，y。为证明满足要求的矩形b存在，只要证明方程组:[k,a,b均为已知] x+y=k(a+b) ， xy=kab。 有正数解即可。 由韦达定理，其解x，y可以看作二次方程: z^2-k(a+b)z+kab=0 (1) 的两个根。下面证明这个二次方程必有两个正根。 因为k≥1，故其判别式: δ=k^2*(a+b)^2-4kab≥k^2*(a+b)^2-4k^2*ab=k^2*(a-b)^2≥0 所以，方程有两个实根z1，z2。 又z1+z2=k(a+b)>0，z1*z2=kab>0，从而z1>0，z2>0。证毕。

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