数列{an}满足a1=1，nan-1=（n-1）an-n（n-1），n≥2且n∈N+（Ⅰ）证明：数列{ann}是等差数列；（Ⅱ）设bn

数列{an}满足a氦海份剿莓济逢汐抚搂1=1，nan-1=（n-1）an-n（n-1），n≥2且n∈N+（Ⅰ）证明：数列{ann}是等差数列；（Ⅱ）设bn=3n-1?an，求数列{bn}的前n项和Sn．

解答：（Ⅰ）证：由已知可得ann＝an?1n?1+1，
即ann?an?1n?1＝1，
∴{ann}是以a11＝1为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得ann＝1+(n?1)?1＝n，
∴an＝n2，
从而bn＝n?3n?1，
Sn＝1+2?31+3?32+…+n?3n?1①
3Sn＝1?3+2?32+…+(n?1)?3n?1+n?3n②
①-②得?2Sn＝1+31+32+…+3n?1?n?3n，=1?3n1?3?n?3n＝(1?2n)?3n?12．
∴Sn＝(2n?1)?3n+14．

解答：证明（ⅰ）∵nan+1=（n+1）an+n（n+1）， ∴ an+1 n+1 ＝ an n +1， ∴ an+1 n+1 ? an n ＝1， ∴数列{ an n }是以1为首项，以1为公差的等差数列； （ⅱ）由（ⅰ）知， an n ＝1+(n?1)?1＝n， ∴an＝n2， bn=3n? an =n?3n， ∴sn＝1×3+2×32+3×33+…+(n?1)?3n-1+n?3n① 3sn＝1×32+2×33+3×34+…+(n?1)?3n+n?3n+1② ①-②得?2sn＝3+32+33+…+3n-n?3n+1 = 3?3n+1 1?3 ?n?3n+1 = 1?2n 2 ?3n+1? 3 2 ∴sn＝ 2n?1 4 ?3n+1+ 3 4

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