寻找数学高手（1）

 试求使

为整数的正整数解。。。

2006分解质因数: 2006=2×17×59

由题意:2006/(x+y),2006/(y+z),2006/(z+x)都是完全平方数

而2006/(x+y),2006/(y+z),2006/(z+x)必然是2006的约数,要是完全平方数只能是1

∴2006/(x+y)=2006/(y+z)=2006/(z+x)=1

∴x+y=y+z=z+x=2006

∴x=y=z=1003

令x+y=p1/q1*2006,y+z=p2/q2*2006,z+x=p3/q3*2006

其中p1,p2,p3,q1,q2,q3都是整数且p1和q1,p2和q2,p3和q3最大公约数均为1

2006=2*17*59

因x,y,z都是整数,所以q1,q2,q3都是2006的约数,因此q1,q2,q3除非为1,否则取任何其他2006的约数都不是完全平方数

原式=√(q1/p1)+√(q2/p2)+√(q3/p3)是整数,显然当q1,q2,q3中有一个不为1时,原式不可能为整数,因此q1=q2=q3=1

原式=√(1/p1)+√(1/p2)+√(1/p3)是整数,所以p1,p2,p3都是完全平方数,令p1=a^2,p2=b^2,p3=c^2且a,b,c>=1

此时x+y=2006a^2,y+z=2006b^2,z+x=2006c^2

三式相加得x+y+z=1003(a^2+b^2+c^2)

解得x=1003(a^2+c^2-b^2),y=1003(a^2+b^2-c^2),z=1003(b^2+c^2-a^2)

则原式=1/a+1/b+1/c是整数且a,b,c>=1,因为x,y,z是对称的,不妨设a>=b>=c>=1

显然原式<=3

当原式=1时,有如下三种情况:a=6,b=3,c=2;a=4,b=4,c=2;a=b=c=3

当原式=2时,有如下一种情况:a=2,b=2,c=1

当原式=3时,有如果下一种情况:a=b=c=1

将a,b,c的值代入x,y,z的表达式可以得到所有的解

设那三个数分别为a,b,c，然后分类讨论 1。a，b，c可能的整数只能为1，因此若a，b，c都为整数，则如上面所说，a=b=c=1 2。若a，b，c，中存在无理数，a+b+c肯定为无理数，因此，a，b，c只能为有理数 若a，b，c中存在分数，用m/n（已化为最简）表示，因为2006=2×17×59，因此2006/（x+y）化简后分子不可能出现某个数的平方，因此化简后分母为1，即a，b，c均可用分子为1的分数表示（分母为正整数）。 因此0<=a+b+c<=3 （1）a+b+c=2，则必有一个数不小于2/3，因此只能为1。设a=1，则b+c=1，同理b，c中必有一个数不小于1/2，因此只能为1/2。 即a，b，c中一个为1，一个为1/2。 （2）a+b+c=1，设最大的数为a，则a>=1/3 （2.1）a=1/3，则b+c=2/3，而b<=a，c<=a，因此b=c=1/3 （2.2）a=1/2，则b+c=1/2 设b>=c，则b>=1/4。 当b=1/4时c=1/4，当b=1/3时c=1/6 总之，a，b，c，所有可能的取值如下（上面的证明已排除了例外）默认a>=b>=c 1。a=b=c=1 2。a=1，b=1/2，c=1/2 3。a=1/3，b=1/3，c=1/3 4。a=1/2，b=1/4，c=1/45。a=1/2，b=1/3，c=1/6 接下来你就把a，b，c的值带进去算就行了。

设那三个数分别为a,b,c，然后分类讨论 1。a，b，c可能的整数只能为1，因此若a，b，c都为整数，则如上面所说，a=b=c=1 2。若a，b，c，中存在无理数，a+b+c肯定为无理数，因此，a，b，c只能为有理数 若a，b，c中存在分数，用m/n（已化为最简）表示，因为2006=2×17×59，因此2006/（x+y）化简后分子不可能出现某个数的平方，因此化简后分母为1，即a，b，c均可用分子为1的分数表示（分母为正整数）。 因此0<=a+b+c<=3 （1）a+b+c=2，则必有一个数不小于2/3，因此只能为1。设a=1，则b+c=1，同理b，c中必有一个数不小于1/2，因此只能为1/2。 即a，b，c中一个为1，一个为1/2。 （2）a+b+c=1，设最大的数为a，则a>=1/3 （2.1）a=1/3，则b+c=2/3，而b<=a，c<=a，因此b=c=1/3 （2.2）a=1/2，则b+c=1/2 设b>=c，则b>=1/4。 当b=1/4时c=1/4，当b=1/3时c=1/6 总之，a，b，c，所有可能的取值如下（上面的证明已排除了例外）默认a>=b>=c 1。a=b=c=1 2。a=1，b=1/2，c=1/2 3。a=1/3，b=1/3，c=1/3 4。a=1/2，b=1/3，c=1/6 接下来你就把a，b，c的值带进去算就行了。

x=y=z=1003

结果为3

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