高一数学求答题步骤

已知f(x)是定义在【-3,3】上的函数，对任意的实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)=-2.

（1）证明：f(x)是奇函数
（2）证明：f(x)在【-3,3】上是减函数
（3）求函数f(x)在【-3,3】上的最大值和最小值

F[-x]=F[x]  +F[-2x]    F[-2x]=F[-x]  +F[-x]

由着两个试子得F[x]  +F[-x]  =0

一。证明：因为对任意的实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，设任意实数m,f(x)定义在【-3,3】上的函数,都有f(mx)=mf(x),所以f(-x)=-f(x),所证f(x)是奇函数成立

1)f(x+y)=f(x)+f(y)

令x=y=0, 则f(0)=f(0)+f(0),  ∴f(0)=0

令y=-x, 则f(0)=f(x)+f(-x), 即f(x)+f(-x)=0

∴f(x)=-f(-x),即f(x)是奇函数

2)任意x1>x2, x1-x2>0, 则f(x1-x2)<0

令x=x1-x2, y=x2, 则f(x1)=f(x1-x2)+f(x2)<f(x2)

∴f(x)是单调减函数

3)由2)可知,f(x)在[-3,3]上是单调减的,最大值为f(-3),最小值为f(3)

令x=y=1, 则f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)=-4

令x=2,y=1, 则f(3)=f(2)+f(1)=-4-2=-6

∵f(x)是奇函数, ∴f(-3)=-f(3)=6

综上,f(x)在[-3,3]上的最大值为6,最小值为-6

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