已知a,b,y为锐角,sin^2a+sin^2b+sin^2y=1求证π /4<a+b+y<3/4π
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解决时间 2021-03-05 21:50
- 提问者网友：听门外雪花风
- 2021-03-05 01:45
已知a,b,y为锐角,sin^2a+sin^2b+sin^2y=1求证π /4<a+b+y<3/4π
最佳答案
- 五星知识达人网友：旧脸谱
- 2021-03-05 03:00
已知α，β，γ为锐角，sin²α＋sin²β＋sin²γ＝1.求证π/2＜α＋β＋γ＜3π/4
我已证：sin²α＋sin²β＋sin²γ＝1，
∴2sin²γ=2-2sin^α-2sin²β
=cos2α+cos2β
=2cos(α+β)cos(α-β),①
α,β,γ是锐角，
∴0<=|α-β|<α+β<π,
∴cos(α-β)>cos(α+β),
由①，cos|α-β|>sinγ=cos(π/2-γ)>cos(α+β)>0,
∴|α-β|<π/2-γ<α+β<π/2,
∴α+β+γ>π/2;
由α+β<π/2轮换得
β+γ<π/2,
γ+α<π/2,
上述三式相加，除以2，得α+β+γ<3π/4
我已证：sin²α＋sin²β＋sin²γ＝1，
∴2sin²γ=2-2sin^α-2sin²β
=cos2α+cos2β
=2cos(α+β)cos(α-β),①
α,β,γ是锐角，
∴0<=|α-β|<α+β<π,
∴cos(α-β)>cos(α+β),
由①，cos|α-β|>sinγ=cos(π/2-γ)>cos(α+β)>0,
∴|α-β|<π/2-γ<α+β<π/2,
∴α+β+γ>π/2;
由α+β<π/2轮换得
β+γ<π/2,
γ+α<π/2,
上述三式相加，除以2，得α+β+γ<3π/4
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- 1楼网友：轻熟杀无赦
- 2021-03-05 03:16
2a/y+a/(2y)=15，y=a/6。
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