比根号6+根号5的和的6次方大的最小整数是为什么要将(√6+√5)^6加上(√6-√5)^6

比根号6+根号5的和的6次方大的最小整数是为什么要将(√6+√5)^6加上(√6-√5)^6

∵6-5=(√6+√5)(√6-√5)=1
∴√6-√5=1/(√6+√5)
∴0＜√6-√5＜1
∴0＜(√6-√5)^6＜1
∴(√6+√5)^6＜(√6+√5)^6+(√6-√5)^6＜(√6+√5)^6+1
又：(√6+√5)^6+(√6-√5)^6可以得到一个整数，这个整数就是比(√6+√5)^6大的最小整数

【备注，当n为偶数时，(√a+√b)^n+(√a-√b)^n展开后，√a的奇次项（同时也是√b的奇次项恰好互相消掉，剩下的全是偶此项，故所得结果不含根号，a、b为整数时，结果也为整数】

设a＝√6＋√5，b＝√6－√5 ∴a＋b＝2√6，ab＝1（这里用到平方差公式） ∴a^2＋b^2＝(a＋b)^2－2ab＝22 ∴a^6＋b^6 ＝(a^2)^3＋(b^2)^3 ＝(a^2＋b^2)^3－3 × a^2 × b^2 × (a^2＋b^2) ＝22^3－3×1^2×22 ＝10582 ∵b＝√6－√5＝4/(√6＋√5)＜1 ∴0＜b^3＜1 ∴10581＜a^6＝10582－b^3＜10582 从而比a^6大的最小整数为10582

因为要求比(√6+√5)^6大的最小整数，所以，得 (√6+√5)^6+(√6-√5)^5 ，这是由于以下三个原因： 1）(√6+√5)^6<(√6+√5)^6+(√6-√5)^6 ，这是显然的； 2）(√6+√5)^6+(√6-√5)^6 确为一个整数 ；这个结论可由二项式定理得到： (√6+√5)^6+(√6-√5)^6=2*[(√6)^6+15*(√6)^4*(√5)^2+15*(√6)^2*(√5)^4+(√5)^6] =2*(216+15*36*5+15*6*25+125)=10582 。 3）0<(√6-√5)^6<1 ；事实上，(√6+√5)(√6-√5)=1 ，因此 √6-√5=1/(√6+√5)<1 。 由以上三个结论可知，比 (√6+√5)^6大的最小整数为 10582 。 加上 (√6-√5)^6 这种做法，在数学上叫对偶，就是利用对偶式，构造一种结构，通过转化能够得到一些附加的结论。

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