1·n+2·（n-1）+3·（n-2）+……n·1=1/6·n（n+1）（n+2）
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解决时间 2021-01-26 19:49
- 提问者网友：泪痣哥哥
- 2021-01-26 14:07
1·n+2·（n-1）+3·（n-2）+……n·1=1/6·n（n+1）（n+2）
最佳答案
- 五星知识达人网友：青尢
- 2021-01-26 14:50
证明：
（1）当n=1时，左边=1*1=1，右边=（1/6）*1*2*3=1
左边=右边，等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立。
即 1*k+2*(k-1)+……+(k-1)*2+k*1=(1/6)*k*(k+1)*(k+2)
当n=k+1时
左边=1*(k+1)+2*k+……+(k-1)*3+k*2+（k+1）*1
=[1*k+1*1]+[2*(k-1)+2]+……+[(k-1)*2+k-1]+[k*1+k]+(k+1)
(把每一项分成两项）
=[1*k+2*(k-1)+……+(k-1)*2+k*1]+[1+2+……+(k-1)+k+(k+1)]
(前一项是把n=k时成立的结果带进去，后一项是等差数列)
=(1/6)*k*(k+1)*(k+2)+(1/2)(k+1)(k+2)
=(1/6)(k+1)(k+2)(k+3)
即当n=k+1时等式也成立。
综上，原等式恒成立。
（1）当n=1时，左边=1*1=1，右边=（1/6）*1*2*3=1
左边=右边，等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立。
即 1*k+2*(k-1)+……+(k-1)*2+k*1=(1/6)*k*(k+1)*(k+2)
当n=k+1时
左边=1*(k+1)+2*k+……+(k-1)*3+k*2+（k+1）*1
=[1*k+1*1]+[2*(k-1)+2]+……+[(k-1)*2+k-1]+[k*1+k]+(k+1)
(把每一项分成两项）
=[1*k+2*(k-1)+……+(k-1)*2+k*1]+[1+2+……+(k-1)+k+(k+1)]
(前一项是把n=k时成立的结果带进去，后一项是等差数列)
=(1/6)*k*(k+1)*(k+2)+(1/2)(k+1)(k+2)
=(1/6)(k+1)(k+2)(k+3)
即当n=k+1时等式也成立。
综上，原等式恒成立。
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