高三向量证明三角形中垂线交于一点

已知：△ABC，E,F分别为AC与AB的中点，过点E作直线垂直AC，过点F作直线垂直AC，两直线交于P点，过P作直线PD垂直BC。向量证明BD=DC。

备注：没想到初中直接轻松证明的题目改向量证明，快证吐血了。晕！！

已知：△ABC，E,F分别为AC与AB的中点，过点E作直线垂直AC，过点F作直线垂直AB，两直线交于P点，过P作直线PD垂直BC。向量证明BD=DC。
(刚才题目打错）

把△ABC放在直角坐标中，A在y轴上，B，C在x轴上，
设A(0,a),B(b,0),C(c,0),P(x,y),E(c/2,a/2),F(b/2,a/2)
AB=(b,-a), AC=(c,-a), PF=(b/2-x,a/2-y), PE=(c/2-x,a/2-y)
因为PE⊥AC,PF⊥AB, PE*AC=0, PF*AB=0
即 (c/2-x,a/2-y) * (c,-a)=0 (b/2-x,a/2-y)* (b,-a)=0
c^2/2-cx-a^2/2+ay=0, b^2/2-bx-a^2/2+ay=0, 二式相减， 得x=(b+c)/2
因为PD⊥BC，所以D的横坐标也是（b+c）/2, 所以BD=DC

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