数列an=1^2+2^2+3^2+

数列an=1^2+2^2+3^2+

这个数列的通项是an=1/6×n（n+1）（2n+1）
证明方法有很多种。
证法一：数学归纳法。
1）n=1时，显然成立。
2）假设n=k（k≥1）时成立，即ak=1/6×k（k+1）（2k+1）
等式两边同加（k+1）²，得：a(k+1)=1/6×k（k+1）（2k+1）+（k+1）²
分解因式得，a(k+1)=1/6×（k+1）×【k（2k+1）+6（k+1）】
=1/6×（k+1）×【2k²+7k+6】
=1/6×（k+1）（k+2）（2k+3）
所以n=k+1时等式仍成立。
综合1），2）知通项成立。
注：此证法的难度在于分解因式。

证法二：写出以下等式
（n+1）³=n³+3n²+3n+1
n³=（n-1）³+3（n-1）²+3（n-1）+1
（n-1）³=（n-2）³+3（n-2）²+3（n-2）+1
……
2³=1²+3×1²+3×1+1
将以上所有等式相加，可消去除（n+1）³外的所有三次项
得（n+1）³=1³+3an+3×½n（n+1）+1
经变换得an=1/6×n（n+1）（2n+1）

证法三：待定系数法。
首先，an一定是关于n的整式函数；由微积分分析得，an的最高次项为3
因此设an=pn³+qn²+rn+s，p,q,r,s是常数
随意代入4个数，即可解得p=1/3，q=1/2，r=1/6，s=0
所以an=1/3n³+1/2n²+1/6n=1/6×n（n+1）（2n+1）

证法四：对一类数列进行分析。
假设已知数列{xn}前n项和为Sn，现在对数列{n×xn}的前n项和Tn进行分析
记yn=n×xn。作数列zn=（n+1）×Sn－Tn
于是zn=nx1+（n-1）x2+（n-2）x3+……+2x(n-1)+xn
所以z(n+1)=（n+1）x1+nx2+（n-1）x3+……+2xn+xn(n+1)
相减得z(n+1)－zn=x1+x2+……+xn=Sn
因此zn=S1+S2+……+S(n-1)
所以Tn=（n+1）Sn－∑Si（从1到n-1求和）
现在来求an。
显然an=1×1+2×2+……+n×n
在刚才的公式中，令xn=n即得an=（n+1）×½n（n+1）－½【1×2+2×3+……+（n-1）×n】
所以an=½n（n+1）²－½【（1-1）+（2×2－2）+（3×3－3）+……+（n×n－n）】
=½n（n+1）²－½【（1²+2²+……+n²）－（1+2+……+n）】
所以an=½n（n+1）²－½an+½×½n（n+1）
移项，3/2an=½n（n+1）²+¼n（n+1）
化简得an=1/6×n（n+1)（2n+1）
注：这种方法还可以解决其它许多问题，如斐波那契数列的求和问题。但这种方法本身比较麻烦。

这个公式的证明还有许多证法。希望以上几种证法对楼主有用

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