三角形ABC内任意一点O，三角形OBC、OAC、OAB的面积分别是S1、S2、S3，证明s1*OA+S2*OB+S3*OC=0向量

三角形ABC内任意一点O，三角形OBC、OAC、OAB的面积分别是S1、S2、S3，证明s1*OA+S2*OB+S3*OC=0向量

延长AO至A‘，使|AO|=|OA‘|，显然OA=-OA’（有向线段表示向量）
过A‘分别作OB、OC的平行线交于M、N，易知OMAN为平行四边形，且有OA‘=OM+ON
连接BN、CM，易知S⊿OMC=S⊿OAC=S2、S⊿ONB=S⊿OAB=S3（等底等高）
在⊿OMC和⊿OBC中，易知S⊿OMC/S⊿OBC=|OM|/|OB|（等高，以AA‘为对角线扩充平行四边形，由平行四边形中位线性质可得），即|OM|/|OB|=S2/S1；
同理有|ON|/|OC|=S3/S1
令OB、OC方向上的单位向量分别为b、c，易知b=OB/|OB|、c=OC/|OC|
因OM、OB同向共线，则OM/|OM|=b，即有OM=(|OM|/|OB|)*OB=(S2/S1)*OB；
同理有ON=(|ON|/|OC|)*OC=(S3/S1)*OC
因OA=-OA’，且OA‘=OM+ON，则OA+OM+ON=0（零向量）
即OA+(S2/S1)*OB+(S3/S1)*OC=0
即S1*OA+S2*OB+S3*OC=0（两边同时乘以S1）

追问额 有设单位向量吗追答单位向量是一个简单的概念。在OB方向上，单位向量就是OB/|OB|；因OM与OB同向共线，则OB方向上的单位向量也可以表示为OM/|OM|；显然OB/|OB|=OM/|OM|。

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