x趋于0时，cos（1/x）能泰勒展开吗，能的话怎么展开？

x趋于0时，cos（1/x）能泰勒展开吗，能的话怎么展开？

先说1, 2, Peano余项的问题. 其实定理叙述的比较清楚, f(x)在0的n阶Taylor展开带有一个o(x^n)的余项. 从这个角度说cos(x)的2阶Taylor展开就是cos(x) = 1-1/2·x2+o(x2). 那么为什么又有cos(x) = 1-1/2·x2+o(x3)呢? 原因很简单, 这是cos(x)的3阶Taylor展开, 而cos(x)在0的3阶导数为0, 所以x3项没出现. 所以不要记cos(x), sin(x)的余项加一次这种事情. 展到几阶就是几次, 根据需要选择. 而图2展到2阶就够用了, 没必要特意展到3阶. 关于1/(1+x2)道理是一样的, 5阶导为0, 所以展到5阶时没有x?项, 且余项为o(x?). 但是怎么看出5阶导为0呢? 可以用Taylor展开反推高阶导数的办法. 因为我们知道1/(1+x2)的Taylor展开为1-x2+x?-x?+...没有5次项. 3, 4的问题其实与余项无关. 之所以要单独讨论0 x ≤ 1的情况, 是因为1)的方法不适用. 此时x-1 ≤ 0, 不在题目条件的范围内, 因此对f(x-1)的大小不能估计. 而2)的方法同样不适用于x > 1, 因为其依赖于|x-1| < 1.

如图所示

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