已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=
a+1
x +2ax=
2ax2+a+1
x ．
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=



-
a+1
2a ．当x∈（0，



-
a+1
2a ）时，f′（x）＞0；
x∈（



-
a+1
2a ，+∞）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，



-
a+1
2a ）单调增加，在（



-
a+1
2a ，+∞）单调减少．
（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．
所以|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于f（x1）-f（x2）≥4x2-4x1，
即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．
令g（x）=f（x）+4x，则g′(x)=
a+1
x +2ax+4=
2ax2+4x+a+1
x ．
于是g′（x）≤
-4x2+4x-1
x =
-(2x-1)2
x ≤0．
从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），
即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．

（1）对任意x1，x2∈r，当 x1≠x2时， f(x1)?f(x2) x1?x2 ＞0， 则函数f（x）在r上递增，即有a＞0①， a 2 ≤2②，2a+5≤22-2a+5③ 则由①②③，解得1≤a≤4； （2）g（x）=x2-4ax+3=（x-2a）2+3-4a2，对称轴x=2a， 由（1）得，2≤2a≤8， ①当2≤2a≤3即1≤a≤ 3 2 时，g（x）min=g（2a）=3-4a2， ②当3＜2a≤8即 3 2 ＜a≤4时，区间[1，3]为减区间，则g（x）min=g（3）=12-12a． 故h（a）= 3?4a2，1≤a≤ 3 2 12?12a， 3 2 ＜a≤4 ．

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