一道函数项级数的问题f(x) = Σ(x+1/n)^n D = (-1,1) 讨论(1)函数项级数的

一道函数项级数的问题f(x) = Σ(x+1/n)^n D = (-1,1) 讨论(1)函数项级数的

注意区分这几种不同的一致收敛性:①在[-1,1]一致收敛;②在(-1,1)一致收敛;③在(-1,1)内闭一致收敛.显然①推出②推出③,但是反过来一般是不成立的.只有②的话级数各项在x = 1处甚至未必有定义,更谈不上收敛.所以你在(1)的证明中的写法有问题.实际上,如果已知各项在[-1,1]上连续,则由②可推出① (可用Cauchy收敛准则证明).从这个意义上你的证明是对的 (但理由不充分).但其实不必绕这个弯,直接由sup{(x+1/n)^n :x ∈ (-1,1)} = (1+1/n)^n > 1,根据Cauchy收敛准则知∑(x+1/n)^n在(-1,1)不是一致收敛的.你在(2)的证明中,对任意x ∈ (-1,1),取a使|x| 但问题在于,对不同的x,这样取得的a不可能都是一样的.因为对任意取定的a a.所以正确的叙述是:任意取定0 从而由Weierstrass判别法知∑(x+1/n)^n在[-a,a]一致收敛.因此和函数在[-a,a]连续,又由a的任意性,和函数在(-1,1)连续.注意证明得到的是∑(x+1/n)^n在(-1,1)内闭一致收敛,即③.而③不能推出②,所以并不会与(1)的结果矛盾.题外话:连续函数项级数(内闭)一致收敛是和函数连续的充分非必要条件.虽说多数题目都是由此入手,但还是提醒一下区别.总结一下,一致收敛性是与所选区域密切相关的,建议不要像问题中一样一概以一致收敛来表述,而是指明在哪个区间上一致收敛(或内闭一致收敛).这样对理解应该更有帮助.

这下我知道了

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