高一数学关于函数性质的一道题。难.

设函数y=f(x)定义在R上的增函数，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意m，n，有
f(m+n)=f(m)×f(n),当m≠n时f(m)≠f(n).
(1)求f(0)
(2)设A={(x,y)|f(x²)×f(y²)≤f(1)}，B={(x,y)|(ax+by+c=1,a,b,c∈R，b≠0}，若A∩B=空集，求a,b,c,满足的条件

帮小弟看下 谢谢啦

f(0)=f(0)的平方

f(0)=1

f(x²)×f(y²)=f(x²+y²)≤f(1)

x²+y²＞0

则x²+y²≤1 (想象成一个圆) 若A∩B=空集

则圆心到直线的距离大于1

得|Aa+Bb+C-1| ---------- >1 根号下(A平方加上B平方)

得|c-1|/根号下(A平方加上B平方)

(c-1)²>a²+b²

令m=n=0，则f(0)=f(0)*f(0)得f(0)^2-f(0)=0

得f(0)[f(0)-1]=0

得f(0)=0或1

当f(0)=0时上式当m=0，n≠0时有

f(n)=0×f(n)=0，有n不论取何值都有f(n)=0，这与题意不符，所以f(0)=1

2、由题集合A有f(x²)×f(y²)≤f(1)

所以f(x²+y²)≤f(1)，由题为增函数

得x²+y²≤1

由集合B可得y由x表达带入上式

因为相交为空，得Δ＜0

可得a，b，c之间关系

1. 因为f(m+n)=f(m)×f(n), 所以f(1+0)=f(1)×f(0),

所以 f（0）=1 指数函数

2. 由f(m+n)=f(m)×f(n), 得到x²+y²≤1；

所以x²+y²<ax+by+c

因为x²+y²=1 是一个圆，半径为1.

要使得集合A与几何B的交集为空集，则圆心到直线ax+by+c=1的距离应该小于1，从而可求得a b c的满足条件，

呵呵

(1)令m=n=0,则f(0)=f(0)*f(0)从而f(0)=0_____(f(0)=1舍去)___(因f(x)递增且当x＞0时，f(x)＞1)

(2)由题意知A={(x,y)|f(x^2+y^2)<=f(1)},

即A={(x,xy)|x^2+y^2<=0}

(1)令 m=1 n=0 f(1)=f(0)*f(1)

又因为当x＞0时，f(x)＞1

就有f(0)=1

(2)因为f(m+n)=f(m)×f(n),

A中的意思就是 x²+y²≤1

B={(x,y)|(ax+by+c=1,a,b,c∈R，b≠0}，若A∩B=空集

的意思就是 直线ax+by+c =0 与圆x²+y²=1无交点

即是（0，0）点到直线的距离要大于 半径 1

然后就可以利用点到直线的距离来求关系了

（1）

令m=0，n=0

f(0+0)=f(0)*f(0)

即：

f(0)=1或0

令m=1，n=0

f(1+0)=f(1)=f(1)*f(0)

当f(0)=0时

f(1)=0

显然不符合x＞0时，f(x)＞1

故：

f(0)=1

..................................................

（2）

f(x²)×f(y²)≤f(1)

f(x²+y²)≤f(1)

y=f(x)定义在R上的增函数

所以

x²+y²≤1（可以看成点在圆内的集合）

又A∩B=空集

所以

点（0，0）到直线ax+by+c=1的距离大于1（圆的半径）

故：

|c-1|/√(a²+b²)=1

化简得：

(c-1)²=a²+b²

........................................................................................

兄弟，我觉得结果别扭，我看题目应该是B={(x,y)|(ax+by+c=0,a,b,c∈R，b≠0}吧，呵呵~

是它的话，答案就是

c²=a²+b²

好看多啦~

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