设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f(1)=f(0)=f'(1)=f'(0)=0,证明:存在ξ∈(0,1)使得f''(ξ )=f(ξ )

设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f(1)=f(0)=f'(1)=f'(0)=0,证明:存在ξ∈(0,1)使得f''(ξ )=f(ξ )

∵f(x)在[0,1]上具有二阶导数
∴f'(x)-∫[0,x]f(x)dx在[0,1]上连续，f'(x)-∫[0,x]f(x)dx在（0,1）内可导
f'(0)-∫[0,0]f(x)dx=f'(1)-∫[0,1]f(x)dx
∴根据拉格朗日中值定理，至少存在一点ξ∈(0,1)使得
f''(ξ )-f(ξ )=0 即f''(ξ )=f(ξ )

分部积分，∫(0->1)f(x)dx=∫(0->1)d[f(x)(x-1/2)]-∫(0->1)f'(x)(x-1/2)dx=[f(0)+f(1)]/2-∫(0->1)f'(x)(x-1/2)dx=[f(0)+f(1)]/2-∫(0->1)d[f'(x)(x^2/2-x/2+1/4)]+∫(0->1)f''(x)(x^2/2-x/2+1/4)dx=[f(0)+f(1)]/2-0+∫(0->1)f''(x)(x^2/2-x/2+1/4)dx。由于∫(0->1)(x^2/2-x/2+1/4)dx=1/6，并且x^2/2-x/2+1/4>=0，0<=x<=1。所以，根据f''的连续性，存在ξ使得f"(ξ)/6=∫(0->1)f''(x)(x^2/2-x/2+1/4)dx。从而得证。其实这里的6可以换成大于0小于等于24的任意一个数。

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