若椭圆以正方形ABCD的对角线顶点A、C为焦点且经过各边的中点,求离心率

若椭圆以正方形ABCD的对角线顶点A、C为焦点且经过各边的中点,求离心率

设正方形的4个顶点是F1(-c,0),P(0,c),F2(c,0),Q(0,-c),则椭圆的方程是
x^2/a^2+y^2/(a^2-c^2)=1.
--->(a^2-c^2)x^2+a^2*y^2=a^2*(a^2-c^2)
F1P的中点M(c/2,c/2)在椭圆上.代入椭圆方程得到
(a^2-c^2)c^2+a^2*c^2=4a^2*(a^2-c^2)
两边同时除以a^4,得到
(1-e^2)e^2+e^2=4(1-e^2)
--->e^4-6e^2+4=0
--->e^2=3-√5
--->e=(3-√5)=(√5-1)/√2.

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