举例说明不等式,函数方程的联系

举例说明不等式,函数方程的联系

基本的东西不好答。试着谈一下。
方程：是含未知数（或叫变量）的等式。因而，不等式中，无论是否有变量，都不会是方程。
函数：表达是一个变量与其它变量（叫自变量，可以有一个或多个，也可以是0个）的关系，通常可以用方程的形式表达。这里说的关系是，自变量值确定后，变量只有唯一对应的值。如，y=x^2，它是一个函数，但 y^2 = x^2 就只是方程，不是函数。函数形式上象方程或等式，但意义是给一个输入，会得到一个唯一输出。中学的函数概念是从集合引出的，清华大学的刘坤林教授在讲微积分时，把函数比如成一个加工机器：你放进猪肉（输入），机器（函数）变出来的是火腿肠（输出），不会是鸡翅（输出的唯一性）。
大致如此。

不等式2x＋1＞3，函数y=2x＋1,方程2x＋1=3 求不等式的解除了解不等式，也可以观察函数y=2x＋1的图像，找y=3的点，借助于方程2x＋1=3解出x=1。看函数图像上比点﹙1，3﹚向上的图像对应的x的值就是不等式的解。 求解方程2x＋1=0可看作函数y=2x＋1的图像上纵坐标等于0的点对应的横坐标的值。

函数y=f(x)=x^2-x-2 函数y=f(x)的零点，即使f(x)=0的x1＝-1,x2=2是方程f(x)=0的根. 使函数y=f(x)值大于0的x的取值范围(-∞,-1)∪(2,+∞)是不等式f(x)>0的解集； 使函数y=f(x)值小于0的x的取值范围(-1,2)是不等式f(x)<0的解集. 这就是方程、函数、不等式三者的关系。

★ 函数与不等式之间的关系 函数解析式： 中，如果变为 （ 的情况类似）或 （ 的情况类似），那么就是不等式了。实际上，以上两个不等式分别对应一次函数 的图像在 轴上方和 下方的情况。而不等式 和 的解分别是一次函数 的图像上方部分对应的自变量 的范围和下方部分对应的自变量 的范围。 例如不等式 所对应的是一次函数 在 轴上方部分的图像。该不等式的解为 在 轴上方部分的图像 所对应的自变量 的范围，即 。 在二次函数中，这种不等式和函数的对应 关系同样适用。例如： 的图像如右图所示： 不等式 的解为二次函数 图像上在 轴上方的部分， 不等式的解为： 或 。同理 的解为 。这也 就是二次不等式“二次项的系数大于零， 后面是大于号的取两边（即小于最小根， 大于最大根），后面是小于号的取中间（大于最小根，小于最大根）”的性质。对于二次项系数小于零的不等式，可以通过在两边同时乘以-1将二次项系数变为正数。 从上面的现象可以得出函数和不等式的关系：不等式 对应的是函数 图像上在 轴上方的部分，不等式 的解就是函数 图像上在 轴上方的部分所对应的自变量 的取值范围。不等式 对应的是函数 图像上在 轴下方的部分，不等式 的解就是函数 图像上在 轴下方的部分所对应的自变量 的取值范围。 对于多次不等式，例如 ，首先在数轴上作出函数 的大致图像（前面已介绍），然后取图像在 轴上方部分对应的 的取值范围。 所以不等式 的解为 或 。同理也可以解 次不等式。 ★ 一元二次方程和一元二次不等式的关系 如果将一元二次方程 中的“=”改为“＞”或“＜”，则可变为一元二次不等式。解一元二次不等式的步骤： 1、 二次项为负数的，首先要在两边同时乘以-1将二次项系数变为正数（注意不等式两边同时乘以一个负数后，不等号要变号）。如 要通过两边同乘以-1变为 。 2、 解出不等式对应的方程的两个根。如解出方程 的两根分别为 。 3、 如果是大于号，解为： 最小根或 最大根。如果是小于号，解为：最小根 最大根。例如 的解为： 。

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