关于一个数学题目

问题： 三个系学生共200名（甲系100、乙系60、丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10、6、4席，若情况变为下列情形，怎样分配才是最公平的：

a>现因学生转系三系人数为103、63、34，问20席如何分配？

b>若增加为21席，有如何分配？

急啊 明天就要交了 要有详细的解答过程

最好的加分！！！！！！

甲系11席，乙系6席，丙系4席

过程楼上的有点看不懂……

这个题目好复杂，是高数？

比例加惯例

对丙系公平吗

系别 学生 比例 20席的分配

人数 （%） 比例 结果

甲 103 51.5 10.3

乙 63 31.5 6.3

丙 34 17.0 3.4

总和 200 100.0 20.0 20

系别 学生 比例 20席的分配

人数 （%） 比例 结果

甲 103 51.5 10.3 10

乙 63 31.5 6.3 6

丙 34 17.0 3.4 4

总和 200 100.0 20.0 20

21席的分配

比例 结果

10.815 11

6.615 7

3.570 3

21.000 21

“公平”分配方法

衡量公平分配的数量指标

人数 席位

A方 p_¹ n_¹

B方 p_² n_²

当p¹/n¹= p²/n² 时，分配公平

p¹/n¹– p²/n² ~ 对A的绝对不公平度

p¹=150, n¹=10, p¹/n¹=15

p²=100, n²=10, p²/n²=10

p¹=1050, n¹=10, p¹/n¹=105

p²=1000, n²=10, p²/n²=100

p¹/n¹– p²/n²=5

但后者对A的不公平程度已大大降低!

虽二者的绝对不公平度相同

若 p¹/n¹> p²/n² ，对 不公平

A

p¹/n¹– p²/n²=5

公平分配方案应使 r^A , r^B 尽量小

设A, B已分别有n¹, n² 席，若增加1席，问应分给A, 还是B

不妨设分配开始时 p¹/n¹> p²/n² ，即对A不公平

~ 对A的相对不公平度

将绝对度量改为相对度量

类似地定义 r^B(n¹,n²)

将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即

“公平”分配方法

若 p¹/n¹> p²/n² ，定义

1）若 p¹/(n¹+1)> p²/n² ，

则这席应给 A

2）若 p¹/(n¹+1)< p²/n² ，

3）若 p¹/n¹> p²/(n²+1)，

应计算r^B(n¹+1, n²)

应计算r^A(n¹, n²+1)

若r^B(n¹+1, n²) < r^A(n¹, n²+1), 则这席应给

应讨论以下几种情况

初始 p¹/n¹> p²/n²

问：

p¹/n¹<p²/(n²+1) 是否会出现？

A

否!

若r^B(n¹+1, n²) >r^A(n¹, n²+1), 则这席应给 B

当 r^B(n¹+1, n²) < r^A(n¹, n²+1), 该席给A

r^A, r^B的定义

该席给A

否则, 该席给B

定义

该席给Q值较大的一方

推广到m方分配席位

该席给Q值最大的一方

Q 值方法

计算

，

三系用Q值方法重新分配 21个席位

按人数比例的整数部分已将19席分配完毕

甲系：p_¹=103, n_¹=10

乙系：p_²= 63, n_²= 6

丙系：p_³= 34, n_³= 3

用Q值方法分配第20席和第21席

第20席

第21席

同上

Q³最大，第21席给丙系

甲系11席，乙系6席，丙系4席

Q值方法分配结果

公平吗？

Q¹最大，第20席给甲系

进一步的讨论

Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？

席位分配的理想化准则

已知: m方人数分别为 p¹, p²,… , p^m, 记总人数为 P= p¹+p²+…+p^m, 待分配的总席位为N。

设理想情况下m方分配的席位分别为n¹,n²,… , n^m (自然应有n¹+n²+…+n^m=N)，

记qⁱ=Npⁱ /P, i=1,2, … , m,

nⁱ 应是 N和 p¹, … , p^m 的函数，即nⁱ = nⁱ (N, p¹, … , p^m )

若qⁱ 均为整数，显然应 nⁱ=qⁱ

qⁱ=Npⁱ /P不全为整数时，nⁱ 应满足的准则：

记 [qⁱ]^– =floor(qⁱ) ~ 向  qⁱ方向取整； [qⁱ]⁺ =ceil(qⁱ) ~ 向  qⁱ方向取整.

1) [qⁱ]^–  nⁱ  [qⁱ]⁺ (i=1,2, … , m),

2) nⁱ (N, p¹, … , p^m )  nⁱ (N+1, p¹, … , p^m) (i=1,2, … , m)

即nⁱ 必取[qⁱ]^– , [qⁱ]⁺ 之一

即当总席位增加时， nⁱ不应减少

“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）

Q值方法满足 2）,

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