已知：抛物线y=x 2 +（a-2）x-2a（a为常数，且a>0）。（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；（2）设抛物

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解决时间 2021-01-08 12:14

提问者网友：斑駁影
2021-01-08 07:56

最佳答案

五星知识达人网友：佘樂
2021-01-08 09:11

解：（1）令y=0，则x² +（a-2）x-2a =0，
△=（a-2）² +8a=（a+2）² ，
∵a>0，
∴a+2>0，
∴△>0，
∴方程x² +（a-2）x-2a=0，有两个不相等的实数根，
∴抛物线与x轴有两个交点；
（2）解：①令y=0，则x² +（a-2）x-2a=0，
解方程，得x₁ =2，x₂ =-a，
∵A在B左侧，且a>0，
∴抛物线与x轴的两个交点为A（-a，0），B（2，0），
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴C（0，-2a），
∴AO=a，CO=2a，
在Rt△AOC中，AO² + CO² =（2 ）² a² +（2a）² =20，
可得a=±2，
∵a>0，
∴a=2，
∴抛物线的解析式为y=x² -4，
②依题意，可得直线l′的解析式为y=3x+t，
A′（t-2，0），B′（t+2，0），A′B′=AB=4，
∵△A′B′P为以A′B′为直角边的等腰直角三角形，
∴当∠PA′B′=90°时，点P的坐标为（t-2，4）或（t-2，-4）
∴ ，
解得t=5/2或t=1/2，
当∠PB′A′=90°时，点P的坐标为（t+2，4）或（t+2，-4）
∴ ，
解得t=-5/2或t=-1/2（不合题意，舍去），
综上所述，t=5/2或t=1/2。

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