4，设方程x+2^x=4的根为m,方程x+log2X=4的根为n，求m+n的值

4，设方程x+2^x=4的根为m,方程x+log2X=4的根为n，求m+n的值

方法一：

由题意有
{m+2^m=4 …… (1)
{n+log<2>n=4 …… (2)
构造函数f(x)=x+2^x …… (3)
令log<2>n=α,则α=2^n
∴(2)等价于2^α+α=4
由(3)单调性知
m=a=log<2>n
∴m+n=n+log<2>n=4

方法二：
2^x=4-x；log<2>x=4-x,注意到函数y=2^x和y=log<2>x互为反函数，
它们的图像关于直线y=x对称，
而直线y=4-x与直线y=x垂直，
所以直线y=4-x与y=2^x和y=log<2>x的交点关于直线y=x对称(关于点(2，2)对称)，
其横坐标分别是m、n，故m+n=4

4

通过作图来解，x+2^x=4可以化为两个方程的解 y=4-x 和y=2^x
x+log2X=4可以化为两个方程的解 y=4-x 和y=log2x
这样就是三个图像，y=2^x和y=log2x互为反函数

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