求函数f(x)=xlnx-ex+1的导数

求函数f(x)=xlnx-ex+1的导数

f(x)=xlnx-ex+1
f'(x)=(x)'lnx+x·(lnx)'-(e^x)'+(1)'
=lnx+x/x-e^x
=lnx-e^x+1

解：（1）由f（x）=ex-1-ax， ∴f′（x）=ex-a， ①当a≤0时，则?x∈r，有f′（x）＞0， ∴函数f（x）在区间（-∞，+∞）单调递增； ②当a＞0时，f′（x）＞0?x＞ln，f′（x）＜0?x＜lna， ∴函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（-∞，lna）， 综合①②的当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）， 当a＞时，函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（-∞，lna）， （2）函数f（x）=f（x）-xlnx定义域为（0，+∞）， 又f（x）=0?a= ex?1 x -lnx，x＞0， 令h（x）= ex?1 x -lnx，x＞0， 则h′（x）= (ex?1)(x?1) x2 ，x＞0， ∴h′（x）＞0?x＞1，h′（x）＜0?0＜x＜1， 故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增． ∴h（x）≥h（1）=e-1， 有由（1）知当a=1时，对?x＞0，有f（x）＞f（lna）=0， 即ex-1＞x? ex?1 x ＞1， ∴当x＞0且x趋向0时，h（x）趋向+∞， 随着x＞0的增长，y=ex-1的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x2的增长速度， 而y=lnx的增长速度则会越来越慢． 故当x＞0且x趋+∞时，h（x趋向+∞． 得到函数h（x）的草图如图所示： 故①当a＞e-1时，函数f（x）有两个不同的零点； ③当a=e-1时，函数f（x）有且仅有一个零点； ③当a＜e-1时，函数f（x）无零点．

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息