若过点p(1,m)与曲线y=3x3相切的直线有3条,求实数的取值范围
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解决时间 2021-02-18 06:34
- 提问者网友：杀手的诗
- 2021-02-17 09:16
若过点p(1,m)与曲线y=3x3相切的直线有3条,求实数的取值范围
最佳答案
- 五星知识达人网友：轻熟杀无赦
- 2021-02-17 10:51
曲线y=3x³的切线斜率为
y'=9x²
过点P(1,m)的切线方程为
y-m=y'(x-1)=9x²(x-1)
又切点在曲线上，故有y=3x³
∴3x³-m=9x²(x-1)
整理可得
6x³-9x²+m=0 (1)
切线有3条，则方程(1)必有3个不同的解
设f(x)=6x³-9x²+m
方程(1)有3个不同的解，则对应于
函数f(x)与x轴有3个不同的交点
取 f'(x)=18x²-18x=0 可解得两个极值点分别为
x1=0, x2=1
易知，当x<0或x>1时，f(x)为增函数
故欲使f(x)与x轴有3个不同交点
则必使其极大值点与极小值点位于x轴异侧
即有f(x1)>0，且f(x2)<0
∴有 m>0，且 6-9+m<0
联立可解得 0<m<3
∴实数m的取值范围为(0,3)
y'=9x²
过点P(1,m)的切线方程为
y-m=y'(x-1)=9x²(x-1)
又切点在曲线上，故有y=3x³
∴3x³-m=9x²(x-1)
整理可得
6x³-9x²+m=0 (1)
切线有3条，则方程(1)必有3个不同的解
设f(x)=6x³-9x²+m
方程(1)有3个不同的解，则对应于
函数f(x)与x轴有3个不同的交点
取 f'(x)=18x²-18x=0 可解得两个极值点分别为
x1=0, x2=1
易知，当x<0或x>1时，f(x)为增函数
故欲使f(x)与x轴有3个不同交点
则必使其极大值点与极小值点位于x轴异侧
即有f(x1)>0，且f(x2)<0
∴有 m>0，且 6-9+m<0
联立可解得 0<m<3
∴实数m的取值范围为(0,3)
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