求数学高手解答，急！ 如果m是正有理数，当且仅当m=1时，m+1/m 是整数。

求数学高手解答，急！ 如果m是正有理数，当且仅当m=1时，m+1/m 是整数。

证明：m是正有理数，如果m不为正整数，可设m=p/q （p、q为正整数且互质，也即为其既约分数形式），则
m+1/m =p/q+q/p=(p²+q²)/(pq)为正整数，也即p²+q²必能被pq整除，也必然能被q整除。由于q²能被q整除，进而得p²必能被q整除，然而p、q互质，这是不可能的。
所以，m必为正整数。要想m+1/m为整数，因m为整数，故1/m必为整数，因此m=1。
所以，当且仅当m=1时，m+1/m是整数。
楼上的证明是有问题的，因为题中告诉m是正有理数，不是正整数，所以不能说m-1与m互质，两个分数是不能说互质的。

证：
m+ 1/m
=(m²+1)/m
=(m²-2m+1+2m)/m
=(m²-2m+1)/m +2
=(m-1)²/m +2
2是整数，要m+ 1/m是整数，只有(m-1)²/m是整数
m-1与m互质，m-1≠0时，(m-1)²不能被m整除
要(m-1)²/m是整数，只有m-1=0
m=1
即：当且仅当m=1时，m+ 1/m是整数

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