求解一个初中几何题

求解一个初中几何题

答案是5度

设所求的角为x
在△EBD中,正弦定理得: sinx/sin15°=EB/ED
在△ECD中,正弦定理得: sin55°/sin(90°-x)=ED/DC
在△EBC中,正弦定理得: sin75°/sin25°=BC/EB
在△CBD中,正弦定理得: sin65°/sin35°=DC/BC
四式相乘得:
sinx*sin55°*sin75°*sin65°/[sin15°*sin(90°-x)*sin25°*sin35°]=1 ------(1)
即: sin55°*sin65°/(cos55°*cos65°)=cos75°*cosx/(sin75°*sinx)
通过积化和差公式:
(-cos120°+cos10°)/(cos120°+cos10°)=[cos(75°+x)+cos(75°-x)]/[-cos(75°+x)+cos(75°-x)]
化简得:
cos(75°-x)/cos(75°+x)=2cos10°
2cos10°=2*sin10°*cos10°/sin10°=sin20°/sin10°=cos70°/cos80°
cos(75°-x)/cos(75°+x)=cos70°/cos80°
可见:x=5°为一个解.
根据(1)式得到:tanx=1/(tan55°*tan65°*tan75°)>0
因为:tanx 中的x在区间(0~90°)为单调增函数, 因此只有唯一的解.
所求的角为5°追问好复杂呀，有没有简单一些的方法？比如有没有办法证AD=DE？若AD=DE则也能得所求角为5度。

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