考研高数U1>-6 ,U(n+1)=根号下【6+Un】试证明在n→无穷时，limUn存在，并求此极

考研高数U1>-6 ,U(n+1)=根号下【6+Un】试证明在n→无穷时，limUn存在，并求此极

答案如图所示

由归纳法易得 un＞0(n≥2)，
然后证明以下两点：
① 若 u1＞3，则 un＞3(n≥2)，
且｛un｝递减，因此存在极限；
② 若 -6＜u1＜3，则 un＜3(n≥2)，
且｛un｝递增，因此存在极限。
(单调性可判断 u(n＋1)-u(n) 的符号)
在以上两种情况下，令 n→∞，
通过解方程 x＝√(6＋x) 求得极限为 3。
当然，最后需说明 u1＝3 时的特殊情况。

(1)  ∵U₁>-6,   ∴U₁+6>0;  U₂=√(1+U₁)>0；..........，∴U(n+1)=√(6+Un)>0;
∵n→∞limUn存在，因此可设n→∞limUn=P，则n→∞limU(n+1)=P;
故有等式：P=√(6+P）;于是P²-P-6=(P-3)(P+2)=0，故得P=3;   【P=-2舍去】
即n→∞limUn=3;
(2).计算二重积分：

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