利用单调性定义证明函数f(x)＝x+4x在[1，2]上的单调性并求其最值
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解决时间 2021-03-19 14:32
- 提问者网友：欲望失宠
- 2021-03-18 23:38
利用单调性定义证明函数f(x)＝x+4x在[1，2]上的单调性并求其最值．
最佳答案
- 五星知识达人网友：你哪知我潦倒为你
- 2021-03-18 23:50
设1≤x1＜x2≤2，
则f(x1)?f(x2)＝x1+
4
x1 ?x2?
4
x2 ＝x1?x2+
4(x2?x1)
x1x2
＝(x1?x2)(1?
4
x1x2 )＝(x1?x2)
x1x2?4
x1x2
∵
1≤x1＜x2≤2 ，∴
x1?x2＜0，x1x2?4＜0 ，x1x2＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f(x)＝x+
4
x 在[1，2]上为减函数
∴当x=2时，f（x）取得最小值4，当x=1时，f（x）取得最大值5．
则f(x1)?f(x2)＝x1+
4
x1 ?x2?
4
x2 ＝x1?x2+
4(x2?x1)
x1x2
＝(x1?x2)(1?
4
x1x2 )＝(x1?x2)
x1x2?4
x1x2
∵
1≤x1＜x2≤2 ，∴
x1?x2＜0，x1x2?4＜0 ，x1x2＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f(x)＝x+
4
x 在[1，2]上为减函数
∴当x=2时，f（x）取得最小值4，当x=1时，f（x）取得最大值5．
全部回答
- 1楼网友：酒者煙囻
- 2021-03-19 00:15
设x1,x2∈[1,2],且10,00,(1-4/x1x2)>0
∴(x2-x1)(1-4/x1x2)>0
∴-(x2-x1)(1-4/x1x2)<0
即f（x1）-f(x2)<0
∴在〔1，2〕上的单调递减。
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