已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=12，an+2SnSn-1=0（n≥2）．（1）判断{1Sn}是否为等差数列？并证明

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=12，an+2SnSn-1=0（n≥2）．（1）判断{1Sn}是否为等差数列？并证明你的结论；（2）求Sn和an；（3）求证：S12+S22+…+Sn2≤12?14n．

（1）S1=a1=
1
2 ，∴
1
S1 ＝2
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1，∴
1
Sn ?
1
Sn?1 ＝2
∴{
1
Sn }为等差数列，首项为2，公差为2…（4分）
（2）由（1）知
1
Sn =2+（n-1）×2=2n，∴Sn＝
1
2n …（6分）
当n≥2时，an＝?2SnSn?1＝?2?
1
2n ?
1
2(n?1) ＝?
1
2n(n?1)
∴an=








1
2 ，n＝1
?
1
2n(n?1) ，n≥2 …（9分）
（3）S12+…+Sn2＝
1
4 (
1
12 +
1
22 +…+
1
n2 )≤
1
4 (1+
1
1×2 +
1
2×3 +…+
1
(n?1)×n )=

∵满足：an+2snsn-1=0（n≥2，n∈n*），∴sn-sn-1+2snsn-1=0，（*） 假设sn=0，可得sn-1=0，于是sn=0对于任意正整数n都成立，而a1＝ 1 2 ≠0，得出矛盾，故sn≠0． ∴（*）可化为 1 sn ? 1 sn?1 ＝2， ∴{ 1 sn }是以 1 a1 ＝2为首项，2为公差的等差数列． ∴ 1 sn ＝2+2(n?1)＝2n，得到sn＝ 1 2n ． 当n≥2时，an=sn-sn-1 1 2n ? 1 2(n?1) =? 1 2n(n?1) 不为等差数列．

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息