已知函数f（x）=cosx（sinx-cosx）+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[-π2，0]时，求函数f

已知函数f（x）=cosx（sinx-cosx）+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[-π2，0]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx-cos2x+1
=
1
2 sin2x-
1+cos2x
2 +1
=
1
2 sin2x-
1
2 cos2x+
1
2
=




2
2 sin（2x-
π
4 ）+
1
2 ，
∴函数f（x）的最小正周期为T=
2π
2 =π．
（Ⅱ）∵x∈[-
π
2 ，0]，
∴-
5π
4 ≤2x-
π
4 ≤-
π
4 ．
∴-1≤sin（2x-
π
4 ）≤




2
2 ，
∴
?



2 +1
2 ≤




2
2 sin（2x-
π
4 ）+
1
2 ≤1，
即
?



2 +1
2 ≤f（x）≤1；
当2x-
π
4 =-
π
2 时，即x=-
π
8 时，函数f（x）取到最小值
?



2 +1
2 ，
当2x-
π
4 =-
5π
4 ，即x=-
π
2 时，函数f（x）取到最大值1．

解：(ⅰ) ， 因此，函数f（x）的最小正周期为π； (ⅱ)因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数， 又 ， 故函数f（x）在区间上的最大值为 ，最小值为-1。

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