设0<x<π/2,证明3x<tanx+2sinx
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解决时间 2021-02-02 09:52
- 提问者网友：孤凫
- 2021-02-01 09:59
设0<x<π/2,证明3x<tanx+2sinx
最佳答案
- 五星知识达人网友：北城痞子
- 2021-02-01 10:27
f(x) = tanx + 2sinx - 3x
f'(x) = 1/cos^2x + 2cosx - 3
= 1/cos^2x + cosx + cosx - 3
>= 3 - 3 = 0
所以f(x)在(0,π/2)上单调增
所以f(x) > f(0) = 0
所以3x
f'(x) = 1/cos^2x + 2cosx - 3
= 1/cos^2x + cosx + cosx - 3
>= 3 - 3 = 0
所以f(x)在(0,π/2)上单调增
所以f(x) > f(0) = 0
所以3x
全部回答
- 1楼网友：爱难随人意
- 2021-02-01 10:54
令f(x)＝tanx+2sinx?3x，0＜x＜
π
2 ，则f（0）=0
且f′（x）=sec2x+2cosx-3
f″（x）=2sec2xtanx-2sinx=2sinx（sec3x-1）
显然，当x∈(0，
π
2 )时，f″（x）＞0
∴f′（x）单调递增，而f'（0）=0
∴当x∈(0，
π
2 )时，f′（x）＞f'（0）=0
∴f（x）单调递增，而f（0）=0
∴f（x）＞f（0）=0
即：3x＜tanx+2sinx，x∈（0，
π
2 ）．
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