高一数学数列2问

1已知数列{an}通项公式为an=（联立）2*3^n  (n为正奇数）

                                  5-4n（n为正偶数），求数列{an}的前n项和sn

 

2求和：  2^n + 2^(n-1)*a+2^(n-2)*a^2+……+2a^(n-1) + a^n

我把它化成

2^n * [1-(1/2)^n+1]/(1/2) * (1-a^(n+1))/(1-a)

对不对，因为我看答案上的式子我怎么化也化不到

1、实质上，an是一个等比数列和等差数列的交叉。奇数项为以6首项，9为公比，偶数项为以-3为首项，-8为公差。

讨论，当n为奇数时，奇数项有（n+1）/2项，偶数项有(n-1/2)项

则奇数项和为，（3的n+2次方-3）/4，偶数项和为（3-2n）(n-1)/2，故

Sn=（3的n+2次方-3）/4+（3-2n）(n-1)/2

当n为偶数时，奇数项有n/2项，偶数项有n/2项

则奇数项和为，（3的n+1次方-3）/4，偶数项和为（1-2n）(n-1)/2，故

Sn=（3的n+1次方-3）/4+（1-2n）(n-1)/2

2、设和为Sn，则2Sn=2^（n+1） + 2^n*a+2^(n-1)*a^2+……+2²a^(n-1) + 2a^n

故Sn=2Sn-Sn=2^（n+1）+2^n*（a-1）+2^(n-1)*a*（a-1）+……+2a^(n-1)（a-1）-a^n

    =2^（n+1）+（a-1）（Sn-a^n）-a^n

解得，Sn=【2^（n+1）-a^（n+1）】/（2-a)    a≠2

如果a=2，则Sn=2^（n+1）-1

1.当n为偶数时：Sn=2(3+3^3+.....+3^(n-1))+5*(n/2)-4(2+4+......+n)

当n为奇数时：Sn=(3+3^3+.....+3^n)+5*(n-1)/2-4(2+4+......+n-1)

分这两种情况计算就行了

2.令原式等于S，那么aS=2^n*a + 2^(n-1)*a^2+2^(n-2)*a^3+……+2a^(n) + a^(n+1)

两式错位相减----->(1-a)S=2^n - 2^(n-1)*a-2^(n-2)*a^2-……-2a^(n-1) + a^n-a^(n+1)=2^n-S/2

第一题

其实不算难，就分成一个等比数列和一个等差数列两部分分别求和后，在求和等

要注意的是等比数列的比是9，等差数列的差是-8

先按n的奇偶性分成两条

若n是奇数，则Sn=2*(3+3^3+3^5+…+3^n)+(5+3+1-1-…-5+4(n-1))=…(自己算吧)

若n是偶数，则Sn=2*(3+27+…3^(n-1))+5+3+…+5-4n=…

最后再看看能不能合并答案，看这个情况，我估计是不能合并的

第二题

你计算顺序的表达不是很清楚

但应该是不对的

你吧a=0带入，两边应该不相等

你只需要在所有项中提出一个2^n

剩下的就是一个a/2的等比数列求和，这样就好算了

解：∵数列{a[n]}的通项公式为(3/2)^(n-1)，满足b[n]=a[n+1]/log[3/2]a[n+1] ∴b[n]=(3/2)^n/log[3/2]{(3/2)^n}=(3/2)^n/n 即：1/b[n]=n(2/3)^n ∴{1/b[n]}的前n项和T[n]=1*(2/3)^1+2*(2/3)^2+3*(2/3)^3+...+n*(2/3)^n ∵2/3T[n]=1(2/3)^2+2(2/3)^3+3(2/3)^4+...+(n-1)(2/3)^n+n(2/3)^(n+1) ∴T[n]-2/3T[n] =T[n]/3 =(2/3)^1+(2/3)^2+(2/3)^3+(2/3)^4+...+(2/3)^n-n(2/3)^(n+1) =(2/3)[1-(2/3)^n]/(1-2/3)-n(2/3)^(n+1) =2-2(2/3)^n-n(2/3)^(n+1) =2-(n+3)(2/3)^(n+1) 即：T[n]=6-3(n+3)(2/3)^(n+1) 【说明：b[n]=a[n+1]/log[3/2]a[n+1]，用中括号将下标括起来，包括数列项的下标和对数的下标，这样在字体不缩小的情况下，也可以看清表达式的真实意思，而不至于混淆。现在，再写出：1/b[n]=log[3/2]a[n+1]/a[n+1]，就看得较为清楚了，就是等式左右两边同时求倒数罢了。上面的解法，是求出b[n]和n的关系后，再求倒数，更方便一些。但道理是一样的。

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