函数f(x)=sin2x+e^|sinx+cosx|的最大值与最小值

函数f(x)=sin2x+e^|sinx+cosx|的最大值与最小值

解：换元，可设t=sinx+cosx=(√2)sin[x+(π/4)].∴-√2≤t≤√2.两边平方。t²-1=sin2x.∴原来的函数可化为函数g(t)=(t²-1)+e^|t|.显然该函数是偶函数，故只需讨论在[0,√2]上的极值问题。【1】g(x)=(x²-1)+e^x.(0≤x≤√2).求导可得g'(x)=2x+e^x.易知在[0,√2]上，g'(x)≥1.∴函数g(x)在[0,√2]上递增，∴g(x)min=g(0)=0.g(x)max=g(√2)=1+e^√2.【2】易知，原来的函数f(x), f(x)max=1+e^√2, f(x)min=0.

f(x)=(2sin²xcosx+2sinxcos²x)/cosx =2sin²x+2sinxcosx =1-cos2x+sin2x =√2(sin2xcos(π/4)-cos2xsin(π/4)) =√2sin(2x-π/4) 由于cosx≠0，x≠kπ+π/2，k∈z 最小正周期：2π/2=π f(x)在[-π/8，3π/8]单调递增 最大值f(π/4)=1 最小值f(-π/8)=-√2

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息