定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得 f（x+λ）+λf（x）=0

定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得 f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ一和谐函数”． 有下列关于“λ-和谐函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ-和谐函数”；②f（x）=x不是一个“λ-和谐函数”；③f（x）=x2是一个“λ-和谐函数”；④“12-和谐函数”至少有一个零点．则正确结论的序号为______（写出所有正确结论的序号）．

①、设f（x）=C是一个“λ-同伴函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”，故①错误
②、假设f（x）=x是一个“λ-同伴函数”，则x+λ+λx=0对任意实数x成立，则有λ+1=λ=0，而此式无解，所以f（x）=x不是“λ-伴随函数”，故②正确；
③、假设f（x）=x2是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）2+λx2=0，
即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ-同伴函数”．故③错误
④、令x=0，得f（
1
2 ）+
1
2 f（0）=0．所以f（
1
2 ）=-
1
2 f（0）．
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（
1
2 ）?f（0）=-
1
2 （f（0））2＜0．
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，
1
2 ）上必有实数根．
因此任意的“
1
2 -同伴函数”必有根，即任意“
1
2 -同伴函数”至少有一个零点．故④正确．
故答案为：②④．

①不正确，原因如下． 若f（x）=c≠0，则取λ=-1，则f（x-1）-f（x）=c-c=0，既f（x）=c≠0是-1-伴随函数 ②不正确，原因如下． 若 f（x）=x 2 是一个λ-伴随函数，则（x+λ） 2 +λx 2 =0．推出λ=0，λ=-1，矛盾 ③正确．若f（x）是 1 2 -伴随函数． 则f（x+ 1 2 ）+ 1 2 f（x）=0， 取x=0，则f（ 1 2 ）+ 1 2 f（0）=0，若f（0），f（ 1 2 ）任一个为0，函数f（x）有零点． 若f（0），f（ 1 2 ）均不为零，则f（0），f（ 1 2 ）异号，由零点存在定理，在（0， 1 2 ）区间存在x 0 ，f（x 0 ）=0． 即 1 2 -伴随函数至少有一个零点． 故答案为：①②．

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