证明锐角三角形三条高教与一点

证明锐角三角形三条高教与一点

已知：ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F 求证：CF⊥AB 证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此三角形三条高交于一点设ΔABC,三条高线为AD、BE、CF,AD与BE交于H,连接CF.向量HA=向量a,向量HB=向量b,向量HC=向量c.因为AD⊥BC,BE⊥AC,所以向量HA·向量BC=0,向量HB·向量CA=0,即向量a·(向量c-向量b)=0,向量b·(向量a-向量c)=0,亦即 向量a·向量c-向量a·向量b=0 向量b·向量a-向量b·向量c=0 两式相加得 向量c·(向量a-向量b)=0 即向量HC·向量BA=0 故CH⊥AB,C、F、H共线,AD、BE、CF交于同一点H.用高中的知识要简单得多,比如解析法、向量法 下面用初中的知识,不过必须用四点共圆,如图,设高BE、CF交于H ,连结AH并延长交BC于D,连结DE、EF、FD 只要证明AD⊥BC即可.因为∠HFA＋∠HEA＝180°,所以A、F、H、E四点共圆 ,所以∠EAH＝∠EFH 同理：B、C、E、F四点共圆,所以∠EFC＝∠EBC ,由上得：∠EAD＝∠EBD ,所以A、B、D、E四点共圆 所以∠ADB＝∠AEB＝Rt∠ 所以AD⊥BC 问题：求证三角形的三条高交于一点（垂心）.说明一下,这里用的方法,都是初中水平的,相信大家都能看懂.证明的方法很多,这里提供两种方法,都附有图像：1.相似三角形法（见下）2.外心法下面的是第一种方法：相似三角形法已知：△ABC的两条高BE、CF相交于点O,第三条高AD交高BD于点O1,交高CF于点O2.求证：O1、O2、O三点重合证明：如图,∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90°又∵∠BAE = ∠CAF∴△ABE ∽ △ACF∴AB/AC = AE/AF,即AB*AF = AC*AE同理,又∵AD⊥BC∴△AEO1 ∽ △ADC,△AFO2 ∽ △ADB∴AE/AD = AO1/AC,AF/AD = AO2/AB即AC*AE = AD*AO1,AB*AF = AD*AO2∵AB*AF = AC*AE,AC*AE = AD*AO1,AB*AF = AD*AO2∴AD*AO1 = AD*AO2∴AO1 = AO2∵点O1、O2都在线段AD上∴点O1、O2重合∴AD与BE、AD与CF交于同一点∵两条不平行的直线只有一个交点∴BE与CF也交于此点∴点O1、O2、O重合

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