设集合A是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A使得0＜|x-x0|＜a，则称x0为集合A的聚

设集合A是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A使得0＜|x-x0|＜a，则称x0为集合A的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中，（1）{x|x＝nn+1，n∈Z，n≥0}（2）不含0的实数集R（3）{x|x＝1n，n∈Z，n≠0}（4）整数集Z以0为聚点的集合有（　　）A．（1）（3）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（1）（2）（4）

（1）{x|x＝
n
n+1 ，n∈Z，n≥0}的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大
1
2 ，
∴在a＜
1
2 的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合的聚点
（2）集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=
a
2 ，使得0＜|x|=＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点．
（3）集合中的元素是极限为0的数列，
对于任意的a＞0，存在n＞
1
a ，使0＜|x|=
1
n ＜a
∴0是集合的聚点
（4）对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点
故选C．

①中，集合{ n n+1 |n∈z，n≥0}中的元素是极限为1的数列， 除了第一项0之外，其余的都至少比0大 1 2 ， ∴在a＜ 1 2 的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x， ∴0不是集合{ n n+1 |n∈z，n≥0}的聚点 ②集合{x|x∈r，x≠0}，对任意的a，都存在x= a 2 （实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|= a 2 ＜a ∴0是集合{x|x∈r，x≠0}的聚点 ③集合{ 1 n |n∈z，n≠0}中的元素是极限为0的数列， 对于任意的a＞0，存在n＞ 1 a ，使0＜|x|= 1 n ＜a ∴0是集合{ 1 n |n∈z，n≠0}的聚点 ④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是整数集z的聚点 故选a

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