函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是______．

函数f（x）=ax²+2x+1，若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是______．

当a=0时，函数f（x）=ax²+2x+1化为f（x）=2x+1，满足对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立；
当a≠0时，要使对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
则

a＞0
△＝22?4a＜0①
或

a＞0
△＝22?4a≥0
?
1
a≤1
f(1)＞0，即

a＞0
4?4a≥0
?
1
a≤1
a+3＞0②
解①得，a＞1．
解②得，0＜a≤1．
综上，对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立的实数a的取值范围是a≥0．
故答案为a≥0．

试题解析：

要使函数f（x）=ax²+2x+1对任意x∈[1，+∞），都有f（x）＞0恒成立，a有可能等于0或大于0，然后分这两种情况讨论，a=0时为一次函数，显然成立；a＞0时，又分判别式小于0和大于等于0两种情况，特别是判别式大于0时，需借助于二次函数的对称轴及f（1）的符号列式求解．

名师点评：

本题考点： 二次函数的性质．
考点点评： 本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用“三个二次”的结合求解参数问题，是中档题．

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