托勒密定理的三角函数证法

如题

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谢谢各位理科天才解题

 

定理的内容
　　托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
　　原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
　　从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．
[编辑本段]证明
　　（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）
　　在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD
　　因为△ABE∽△ACD
　　所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)
　　又有比例式AB/AC=AE/AD
　　而∠BAC=∠DAE
　　所以△ABC∽△AED相似.
　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)
　　(1)+(2),得
　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
　　又因为BE+ED≥BD
　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）
　　所以命题得证

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