已知函数f(x)=x+1/x.判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并加以证明;求f(x)的定义域,值域

已知函数f(x)=x+1/x.判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并加以证明;求f(x)的定义域,值域

(一)f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增
证明：(1)任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(1-1/x1x2)
因为x1,x2∈(0,1),且x1<x2
所以x1-x2<0,0<x1x2<1,1-1/x1x2<0
所以f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)在(0,1)单调递减
(2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2
同上，但x1x2>1,1-1/x1x2>0
所以f(x1)-f(x2)<0
所以f(x)在(1,+∞)单调递增
(二)定义域：x≠0，即(-∞,0)∪(0,+∞)
值域：没有学基本不等式的话可以用判别式法
y=x+1/x
x^2-yx+1=0
所以Δ=y^2-4≥0
解得y≤-2或y≥2
值域(-∞,-2]∪[2,+∞)
打得这么辛苦，多给个分吧

f(x) 求导得 1 - 1/(x^2), 当 x = 正负1 时导数为 0 , 说明 x = 正负 1 时,f(x) 的单调性可能发生改变 (0, 1] 上 f(x) 的导数小于0 , [1, ∞) 上导数大于0,说明 f(x) 在 (0, 1]上单调递减, [1, ∞) 上单调递增 f(x) 要求 x != 0,所以 f(x)的定义域是 (-∞, 0) 和 (0, ∞) 在 (0, ∞) 上,当 x = 1 时 f(x) 取最小值,为 2 f(x) 求导得 1 - 1/(x^2), 当 x = 正负1 时导数为 0 , 说明 x = 正负 1 时,f(x) 的单调性可能发生改变 (0, 1] 上 f(x) 的导数小于0 , [1, ∞) 上导数大于0,说明 f(x) 在 (0, 1]上单调递减, [1, ∞) 上单调递增 f(x) 要求 x != 0,所以 f(x)的定义域是 (-∞, 0) 和 (0, ∞) 在 (-∞, 0) 上,当 x = -1 时 f(x) 取最大值,为 -2 所以 f(x)的值域是 (-∞, -2] 和 [2, ∞)

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