高中数学（函数）

已知函数f(x)=aln(1+e^x)-(a+1)x，(a>0)，点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))从左到右依次是函数y=f(x)图像上三点，且2(x2)=x1+x3.

1)求证：ΔABC是钝角三角形；

2)试问，ΔABC能否是等腰三角形？若能，求ΔABC面积的最大值；若不能，请说明理由。

1)f(x)=aln(1+e^x)-(a+1)x, f'(x)=ae^x/(1+e^x)-(a+1)<a-(a+1)=-1<0, ∴f(x)单调减

x1<x2<x3, ∴f(x1)>f(x2)>f(x3)

x2-x1>0,x2-x3<0, f(x2)-f(x1)<0,f(x2)-f(x3)>0, ∴(x2-x1)(x2-x3)<0,[f(x2)-f(x1)][f(x2)-f(x3)]<0

向量AB=(x2-x1,f(x2)-f(x1)),向量CB=(x2-x3,f(x2)-f(x3))

∴向量AB*向量CB=(x2-x1)(x2-x3)<0+[f(x2)-f(x1)][f(x2)-f(x3)]<0

向量AB*向量CB=|AB|×|CB|cosB<0, ∴cosB<0,即B是钝角

2)假设AB,BC斜率为k1,k2, |AB|=√(1+k1²)×|x2-x1|, |BC|=√(1+k2²)×|x3-x2|

若△ABC是等腰三角形, 则|AB|=|AC|,即√(1+k1²)×|x2-x1|=√(1+k2²)×|x3-x2|

由题意,|x2-x1|=|x3-x2|, ∴√(1+k1²)=√(1+k2²)

k1,k2<0, ∴k1=k2, 说明AB和BC斜率相同则ABC三点共线,不构成三角形

综上,△ABC不是等腰三角形

1. f(x) = aln(1 + e^x) - (a+1)x 的一阶导函数为： f'(x) = [a·e^x/(1 + e^x)] - (a + 1)     < a - (a + 1) = -1 < 0 ，即f'(x) < 0 ∴f(x)在R上是减函数 2. f(x)在定义域上的二阶导函数为： f''(x) = e^x/(1 + e^x)^2 > 0 ，即f''(x) > 0 ，∴f(x)在R上是向上凹的 ， 由2x2 = x1 + x3 ，可得2f(x2) < f(x1) + f(x3) ，∴△ABC是钝角三角形 ， 且∠B是钝角 3. 不可能是等腰三角形。 用反证法：假设△ABC是等腰三角形 ，由2. “∠B是钝角”，那么只能有：BA = BC ，∴B在AC的垂直平分线上 ，设线段AC中点为D 。∵f(x)向上凹且为减函数 ，∴x1≠x3 ，∴直线BD斜率存在 ，因此B、D横坐标不相等； 但根据题干 ，2x2 = x1 + x3 ，可知B就在D的正下方 ，∴B、D横坐标相等 ； ∴矛盾！ 因此 ，△ABC不可能为等腰三角形 。

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