在抛物线y^2=2x上一点P到直线x-y+3=0的距离的最小值为？ （要两种方法，急！！！！！！！！！！！！！！！

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解：
设P点坐标P(y0²/2，y0)
第一种方法：公式法。
距离d=|y0²/2-y0+3|/√(1²+(-1)²)=|(1/2)(y0-1)²+3/2|/√2
y0=1时，有最小距离d=3/2√2=3√2/4
第二种方法：过P作已知直线垂线，求出垂足坐标，再求P和垂足间距离，再配方，求最小值。这种方法很麻烦，一下写出大概步骤。
设过P点且垂直于已知直线的直线方程为y=-x+b
x=y0²/2 y=y0代入
y0=-y0²/2+b
b=y0-y0²/2
直线方程为y=-x+y0-y0²/2
求两直线交点M：
x-y=-3
x+y=y0-y0²/2
解得x=(2y0-6-y0²)/4 y=(2y0+6-y0²)/4
|PM|²=[(2y0-6-3y0²)/4]²+[(6-y0²-2y0)/4]²
化简后，配方，求最小值就可以了，不再写了。

设此点纵坐标是a 则x=a^2/2 (a^2/2,a)到直线距离=|a^2/2-a+3|/√(1^2+1^2) a^2/2-a+3=(1/2)(a-1)^2+5/2>0 所以绝对值可以去掉 且a=1,a^2/2-a+3最小,即距离最小 a^2/2=1/2 所以p(1/2,1) 把直线平移至正好和抛物线相切，则切点就是距离最短的点 设切线是y=x+m 则y^2=x^2+2mx+m^2=2x x^2+2(m-1)x+m^2=0 相切所以只有一个公共点， 所以判别式等于0 所以4(m-1)^2-4m^2=0 -2m+1=0 m=1/2 所以x^2-x+1/4=0 x=1/2,y=x+m=1 p(1/2,1)

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